Викия

Математика

Ортогональная проекция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ортогональная проекция в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это вектор, лежащий в рассматриваемом пространстве и наилучшим способом приближающий данный.

Определение Править

Пусть дано гильбертово пространство \bigl(H,\langle \cdot, \cdot \rangle\bigr), и L \subset H - его подпространство. Обозначим символом

\| x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle},

норму, индуцированную имеющимся скалярным произведением. Расстоянием от произвольного вектора x\in H до подпространства L называется число

d(x,L) = \inf\limits_{y\in L} \|x-y\|.

Вектор y\in L такой, что

\|x-y\| = d(x,L)

называется ортогональной проекцией x на L. Будем писать: y = {P}_{L}x.

Свойства Править

  • Оператор ортогональной проекции P_L:H \to L идемпотентен, то есть
    \forall x \in H \quad P_L(P_L x) = P_L x.
  • Ортогональная проекция оставляет вектора из L без изменения:
     \forall x \in L \quad P_L x = x.
  • Ортогональная проекция переводит вектора из ортогонального дополнения L^{\perp} в ноль,
    \forall x \in L^{\perp}\quad P_L x = 0.
  • Произвольный вектор x может быть единственным образом представлен в виде суммы его проекции на L и её ортогонального дополнения:
    \forall x \in H\quad x = P_Lx + (x-P_L x), где P_L x\in L,\; x-P_L x \in L^{\perp}.

Примеры Править

  • Пусть H = L^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) - пространство квадратично интегрируемых случайных величин, и L - подпространство величин, измеримых относительно выделенной сигма-алгебры \mathcal{G}\subset \mathcal{F}. Тогда для любой случайной величины X\in H её проекция Y на L называется условным математическим ожиданием относительно \mathcal{G} и обозначается
Y = \mathbb{E}\bigl[X \mid \mathcal{G}\bigr].


Викия-сеть

Случайная вики