Ортогональная проекция

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Ортогональная проекция в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это вектор, лежащий в рассматриваемом пространстве и наилучшим способом приближающий данный.

[править] Определение

Пусть дано гильбертово пространство и - его подпространство. Обозначим символом

норму, индуцированную имеющимся скалярным произведением. Расстоянием от произвольного вектора до подпространства называется число

Вектор такой, что

называется ортогональной проекцией на Будем писать:

[править] Свойства

• Оператор ортогональной проекции идемпотентен, то есть

  

• Ортогональная проекция оставляет вектора из без изменения:

  

• Ортогональная проекция переводит вектора из ортогонального дополнения в ноль,

  

• Произвольный вектор может быть единственным образом представлен в виде суммы его проекции на и её ортогонального дополнения:

  где

[править] Примеры

• Пусть - пространство квадратично интегрируемых случайных величин, и - подпространство величин, измеримых относительно выделенной сигма-алгебры Тогда для любой случайной величины её проекция на называется условным математическим ожиданием относительно и обозначается