Викия

Математика

Ориентация

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ориентация, в классическом случае — выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определенном смысле. Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.

В элементарной математике, ориентация часто описывается через понятие «направления по и против часовой стрелки».

Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств (многообразий, векторных расслоений, комплексов Пуанкаре и т. д.). Современный взгляд на ориентацию дается в рамках обобщенных теорий когомологий.

Конечно-мерное векторное пространствоПравить

В случае векторного пространства конечной размерности над полем вещественных чисел две системы координат считаются связанными положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другой.

Для общего поля определение ориентации прeдтавляет трудности. Например в комплексном пространстве \mathbb C^n комплексный репер e_1,e_2,...,e_n определяет действительный репер e_1,e_2,...,e_n, ie_1,ie_2,...,ie_n в том же пространстве, рассматриваемом как \R^{2n}, и все такие реперы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря комплексная структура задает ориентацию в \R^{2n}).

Аффинное пространствоПравить

На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве A системы координат состоят из точки (начала O) и репера \{e_i\}, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).

Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, т. е. существует непрерывно зависящее от параметра t\in[0, 1] семейство координатных систем O(t), \{e_i(t)\}, связывающее данные системы O, \{e_i\} и O', \{e'_i\}.

При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.

Ориентация может быть задана порядком вершин n-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, если и только если они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая (n-1)-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит гране, то порядок остальных принимается для неё за положительный.

МногообразияПравить

В связном многообразии M системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих M. Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны +1, а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие M называется ориентируемым. В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, если и только если атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса называется ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке. В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке. Если M имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берется репер, ориентирующий M, первый вектор которого направлен из M, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.

Дезориентирующий контурПравить

Дезориентирующий контур — замкнутая кривая в многообразии, обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.

Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии M, причём однозначно определён гомоморфизм фундаментальной группы \pi_1(M) на \mathbb Z_2 с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.

Вдоль любого пути q: [0, 1]\to M можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым ориентация в точке q(0) определяет орентацию в точке q(1), и эта связь зависит от пути q лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если q — петля, т. е. q(0) = q(1)=x_0, то q называется дезориентирующим контуром, если эти ориентации противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы \pi_1(M,x_0) в группу порядка 2: дезориентирующие петли переходят в -1, а остальные в +1. По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно называется ориентирующим (т. к. накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над M одномерное расслоение, тривиальное, если и только если M ориентируемо. Для дифференцируемого M оно может быть определено как расслоение \Omega^n(M) дифференциальных форм порядка n=\operatorname{dim} M. Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задает форму объёма на M и одновременно ориентацию.

На языке гомологийПравить

Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края гомологии группа H^n(M,\Z) (с замкнутыми носителями) изоморфна \Z, и выбор одной из двух образующих задает ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для H^n(M,\partial M,\Z). В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары (M,\partial M). Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.

Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе H^n(M,M\backslash x_0,\Z), изоморфной \Z Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщенные гомологические многообразия.

ПсевдомногоооразияПравить

Триангулированное многообразие M (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все n-мерные симплексы так, что два симплекса с общей (n-1)-мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка n-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую (n-1)-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.

РасслоенияПравить

Пусть над пространством B задано расслоение p:E\to B со стандартным слоем F. Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определенное путем в B однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.

Бесконечно-мерные пространстваПравить

Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.pl:Orientacja

Викия-сеть

Случайная вики