Викия

Математика

Определенный интеграл

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение Править

Пусть f(x) определена на [a ; b]. Разобьём [a ; b]на части с несколькими произвольными точками a=x_{0} < x_{1} < x_{2} < x_{n} = b. Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a ; b]. Далее выберем произвольную точку \xi_{i} \in [x_{i} ; x_{i+1}], i=\overline{0,n-1},

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a ; b]называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю \lambda_{R}\rightarrow 0, если он существует независимо от разбиения R и выбора точек \xi_{i}, то есть

\int\limits^{b}_{a}f(x)dx=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\sum\limits^{n-1}_{i=0}f(\xi_{i})\Delta x_{i}

Если существует указанный предел, то функция f(x) называется интегрируемой на [a ; b] по Риману.

Обозначения Править

\int\limits_{a}^{b}f(x)dx

  • a — нижний предел.
  • b — верхний предел.
  • f(x) — подынтегральная функция.
  • \Delta x_{i} — длина частичного отрезка.
  • \sigma_{R} — интегральная сумма от функции f(x) на [a ; b] соответствующей разбиению R.
  • \lambda_{R}=\max_i{\Delta x_i} — максимальная длина част. отрезка.

Свойства Править

Если функция f(x) интегрируема по Риману на [a ; b], то она ограничена на нем.

Геометрический смысл Править

Integral as region under curve.svg

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл \int\limits_a^b f(x)\, dx численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x).

Формула Ньютона — Лейбница Править

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определённого интеграла и вычислением первообразной:

Если \textstyle f непрерывна на отрезке \left [ a,b \right ] и \textstyle \Phi — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство: \int\limits_a^b f(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Bigl.\Phi\Bigl|_a^b

См. также Править

Шаблон:Rq

Викия-сеть

Случайная вики