Викия

Математика

Оператор (математика)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что отображение.

Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают какие-то особые (для данной области математики) отображения, например в функциональном анализе под операторами понимают отображение ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).

Наиболее часто встречающиеся операторы:

  • Функциональный анализ: Операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свертка с ядром, преобразование Фурье).
  • Линейная алгебра: Отображения (в особенности линейные) векторных пространств (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу).
  • Дискретная математика: Преобразование последовательностей (свертки дискретных сигналов, медианный фильтр и т. п.).

Основная терминология Править

Пусть оператор A действует из множества X в множество Y.

Простые примеры Править

Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции x(t) согласно правилу A в другую функцию y(t) выглядит: y(t) = A{x(t)} или, проще, y = Ax. Примерами подобных преобразований могут быть, например, домножение на число: y(t) = cx(t), дифференцирование: y(t) = {dx(t) \over dt} и т. д. Получаем операторы дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.

Определяя оператор, мы рассматривали только преобразование функции x(t) в другую функцию y того же аргумента t. Такое сохранение аргумента при определении оператора вовсе не является обязательным: оператор может преобразовывать функцию одного аргумента в функцию другого аргумента, например:

y(t) ={ \int_0^t x(\tau)\,d{\tau}}

или Преобразование Фурье из временной в частотную область:

F(\omega) = \mathcal{F} \{ f(t) \}.

Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции y, вообще говоря, в каждой точке t зависит не только от x(t), а от значений функции x во всех точках t. Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке \omega меняется при изменении исходной функции в любой точке t.

Еще в качестве примера оператора можно привести операцию умножения вектора длины n на матрицу размером m \times n. Этот оператор отображает n-мерное пространство векторов в m-мерное.

Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свертки функции с весом есть много общих свойств.

Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным.

Линейные операторы Править

См. также основную статью Линейное отображение.

Оператор L (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

1) может применяться почленно к сумме аргументов:

L(x_1+x_2) = L(x_1) + L(x_2);

2) скаляр (постоянную величину) с можно выносить за знак оператора:

L(cx) = cL(x);

Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство L(0) = 0.

Примеры линейных однородных операторов:

  • оператор дифференцирования: L(x(\cdot)) = y(t) = {dx(t) \over dt};
  • оператор интегрирования: y(t) = \int_0^t x(\tau)\,d{\tau};
  • оператор умножения на определённую функцию φ(t): y(t) = φ(t)x(t);
  • оператор интегрирования с заданным «весом» φ(t): y(t) = \int_0^t x(\tau){\phi}(\tau)\,d{\tau}
  • оператор взятия значения функции f в конкретной точке x_0: L(f) = f(x_0);
  • оператор умножения вектора на матрицу: b= Ax.

Оператор L называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:

L{x} = L0{x} + φ,

где L0 — линейный однородный оператор. Примеры линейных неоднородных операторов:

где φ(t), φ1(t), φ2(t) — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.


В случае преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) линейные операторы характеризуются тем, что для них yk являются линейными функциями от xk:

yk = \sum_{k=1}^n T_{kl}\,x_l.

Коэффициенты Tkl образуют матрицу. Если {yk} рассматривают как векторы, то оператор называется тензором. В этом случае пишут \mathfrak{b} = \mathfrak{Ta}.

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных K(t, ω), и называется ядром линейного интегрального преобразования:

φ(t) = \int_V K(t,\omega)f(\omega)\,d{\omega} = Kf(ω).

Функция-операнд f(ω) в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда f(ω) заменяется вектором W. В этом случае φ(t) представимо (бес~)конечным рядом функций:

φ(t) = \sum_{i=1}^n T_i(t)w_i.

Единичный оператор Править

Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:

Ea = a,

то есть как матричный оператор определяется равенством

\sum_k E_{ik}\,a_k = a_i

и как интегральный оператор — равенством

\int_\alpha^\beta E(x,t)a(t)\,dt = a(x).

Единичная матрица Eik записывается большей частью с помощью символа δik = δki (символ Кронекера). Имеем: δik = 1 при i = k и δik = 0 при ik.

Единичное ядро E(x,t) записывается в виде δ(xt) = δ(tx) (дельта-функция). δ(xt) = 0 всюду, кроме x = t, где функция становится бесконечной и притом такой, что

\int_\alpha^\beta \delta(x-t)\,dt = 1.

Запись Править

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

  • префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:
Q(x1, x2,…,xn);
  • постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:
(x1, x2,…,xn) Q;
  • инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:
x1 Q x2
  • позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;
  • подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор Q над функцией f обычно для краткости записывается Qf вместо Q(f); скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением Q(fg). Q, действующий на f(x), также записывают (Qf)(x). Для обозначения некоторых операторов вводятся спецзнаки, например, унарные n! (факториал '!', справа от операнда), -n (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции \mathcal{F} \{ f(t) \}. Возведение в степень nx можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.

См. также Править

Литература Править

  • Вентцель Е. С. Теория вероятностей — 1998, стр. 388—390
  • Маделунг Э. Математический аппарат физики — стр. 34
  • (1995) Оператор. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия».


ca:Operador matemàtiche:אופרטורnl:Operatorsv:Operator

Викия-сеть

Случайная вики