Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор , обозначаемый символом
∇
{\displaystyle \nabla }
Юникоде U+2207, ∇).
Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами
∂
∂
x
1
,
∂
∂
x
2
,
…
,
∂
∂
x
n
{\displaystyle {\partial\over\partial x_1},\;{\partial\over\partial x_2},\;\ldots,\;{\partial\over\partial x_n}}
n
{\displaystyle n}
Для трёхмерного декартового пространства оператор набла определяется следующим образом
∇
=
∂
∂
x
i
→
+
∂
∂
y
j
→
+
∂
∂
z
k
→
{\displaystyle \nabla={\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k}}
Свойства оператора набла [ ] Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.
Если умножить вектор
∇
{\displaystyle \nabla }
ϕ
{\displaystyle \phi}
∇
ϕ
=
∂
ϕ
∂
x
i
→
+
∂
ϕ
∂
y
j
→
+
∂
ϕ
∂
z
k
→
{\displaystyle \nabla\phi={\partial\phi\over\partial x}\vec{i}+{\partial\phi\over\partial y}\vec{j}+{\partial\phi\over\partial z}\vec{k}}
градиент функции
ϕ
{\displaystyle \phi}
Если вектор
∇
{\displaystyle \nabla }
скалярно умножить на вектор
a
→
{\displaystyle \vec{a}}
∇
a
→
=
∇
x
a
x
+
∇
y
a
y
+
∇
z
a
z
=
∂
a
x
∂
x
+
∂
a
y
∂
y
+
∂
a
z
∂
z
{\displaystyle \nabla\vec{a} = \nabla_xa_x+\nabla_ya_y+\nabla_za_z={\partial a_x\over\partial x}+{\partial a_y\over\partial y}+{\partial a_z\over\partial z}}
дивергенция вектора
a
→
{\displaystyle \vec{a}}
Если
∇
{\displaystyle \nabla }
a
→
{\displaystyle \vec{a}}
векторно , то получится ротор вектора
a
→
{\displaystyle \vec{a}}
Также, произведение
∇
∇
=
∇
2
{\displaystyle \nabla\nabla=\nabla^2}
оператор Лапласа , и обозначается
Δ
{\displaystyle \Delta}
Δ
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
{\displaystyle \Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}}
Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:
grad
(
ϕ
ψ
)
=
∇
(
ϕ
ψ
)
=
ψ
∇
ϕ
+
ϕ
∇
ψ
=
ψ
grad
ϕ
+
ϕ
grad
ψ
{\displaystyle \operatorname{grad}(\phi\psi)=\nabla(\phi\psi)=\psi\nabla\phi+\phi\nabla\psi=\psi\operatorname{grad}\phi+\phi\operatorname{grad}\psi}
div
(
grad
ϕ
)
=
∇
(
∇
ϕ
)
=
(
∇
∇
)
ϕ
=
Δ
ϕ
{\displaystyle \operatorname{div}(\operatorname{grad}\phi)=\nabla(\nabla\phi)=(\nabla\nabla)\phi=\Delta\phi}
ca:Operador nabla
cs:Nabla
da:Nabla
nl:Nabla
no:Nabla
pl:Nabla
sk:Operátor nabla
sv:Nablaoperatorn
ta:டெல் இயக்கி
