Викия

Математика

Операда

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение4 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Операда (Клон полилинейных операций) — семейство множеств \{R_n, n\ge 1\} с левым действием симметрических групп S_n\! на соответствующих R_n\! и с операциями композиции:

R_{n_1}\times\dots\times R_{n_m}\times R_m \longrightarrow R_{n_1+\dots n_m}: (r_1, \dots , r_m, r)\to r_1\dots r_mr,

удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:

(r_{11}r_{21}\dots r_{k_11}r_1)\dots (r_{1m}r_{2m}\dots r_{k_mm}r_m)r=(r_{11}r_{21}\dots r_{k_11}\dots r_{1m}r_{2m}\dots r_{k_mm})(r_1\dots r_mr)

и наличию единицы \epsilon\in R_1: (\epsilon\dots\epsilon)r=r,\quad r\epsilon=r.

Операда называется линейной, если R_n\! являются пространствами, действия симметрических групп S_n\! являются представлениями, а композиции полилинейны.

Алгебра над линейной операдой — это пространство A\! c полилинейными операциями композиции:

A^{\otimes n}\otimes_{S_n} R_n\longrightarrow A: a_1\otimes\dots\otimes a_n\otimes r\to a_1\dots a_nr

со свойствами унитарности a\epsilon=a\! и обобщённой ассоциативности:

(a_{11}a_{21}\dots a_{k_11}r_1)\dots (a_{1m}a_{2m}\dots a_{k_mm}r_m)r=(a_{11}a_{21}\dots a_{k_11}\dots a_{1m}a_{2m}\dots a_{k_mm})(r_1\dots r_mr)

Примеры Править

Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.

  • Простейшей операдой является ассоциативное кольцо R\! с 1: R_1=R,\quad R_{>1}=\{0\}. Алгебра над ней — это правый R\!модуль.
  • не все алгебраические конструкции описываются операдами, например, биалгебры и алгебры Хопфа не имеют подобной формализации.

История Править

Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры были введены советским алгебраистом В. А. Артамоновым в статье 1969 года, немного позднее они были переоткрыты американским топологом Дж. Петером Мэем под именем операд и алгебр над ними. С тех пор западные учёные считают изобретателем операд Петера Мэя (об открытии Мэя).

Литература Править

  • Артамонов В.А. "Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры"//УМН,— 1969,— Т.24,— № 1,— стр. 47—59
  • May J.P. "The geometry of iterated loop spaces", Lecture Notes in Mathematics, vol. 271,— Berlin: Springer-Verlag, 1972, 175 p.

Викия-сеть

Случайная вики