Операда

Операда (Клон полилинейных операций) — семейство множеств $\{R_{n},n\geq 1\}$ с левым действием симметрических групп $S_n \!$ на соответствующих $R_{n}\!$ и с операциями композиции:

$R_{n_{1}}\times \dots \times R_{n_{m}}\times R_{m}\longrightarrow R_{n_{1}+\dots n_{m}}:(r_{1},\dots ,r_{m},r)\to r_{1}\dots r_{m}r$,

удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:

$(r_{11}r_{21}\dots r_{k_{1}1}r_{1})\dots (r_{1m}r_{2m}\dots r_{k_{m}m}r_{m})r=(r_{11}r_{21}\dots r_{k_{1}1}\dots r_{1m}r_{2m}\dots r_{k_{m}m})(r_{1}\dots r_{m}r)$

и наличию единицы $\epsilon \in R_{1}:(\epsilon \dots \epsilon )r=r,\quad r\epsilon =r$.

Операда называется линейной, если $R_{n}\!$ являются пространствами, действия симметрических групп $S_n \!$ являются представлениями, а композиции полилинейны.

Алгебра над линейной операдой — это пространство $A\!$ c полилинейными операциями композиции:

$A^{\otimes n}\otimes _{S_{n}}R_{n}\longrightarrow A:a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n}\otimes r\to a_{1}\dots a_{n}r$

со свойствами унитарности $a\epsilon =a\!$ и обобщённой ассоциативности:

$(a_{11}a_{21}\dots a_{k_{1}1}r_{1})\dots (a_{1m}a_{2m}\dots a_{k_{m}m}r_{m})r=(a_{11}a_{21}\dots a_{k_{1}1}\dots a_{1m}a_{2m}\dots a_{k_{m}m})(r_{1}\dots r_{m}r)$

Примеры

Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.

• Простейшей операдой является ассоциативное кольцо $R\!$ с 1: $R_{1}=R,\quad R_{>1}=\{0\}$. Алгебра над ней — это правый $R\!$—модуль.

• Структуру линейной операды можно определить на семействе групповых алгебр над симметрическими группами $\{k(S_{n}),n\geq 1\}\!$, а также и на $\{k(G^{n}),n\geq 1\}\!$, где $G \!$ — моноид.

• не все алгебраические конструкции описываются операдами, например, биалгебры и алгебры Хопфа не имеют подобной формализации.

История

Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры были введены советским алгебраистом В. А. Артамоновым в статье 1969 года, немного позднее они были переоткрыты американским топологом Дж. Петером Мэем под именем операд и алгебр над ними. С тех пор западные учёные считают изобретателем операд Петера Мэя (об открытии Мэя).

Литература

• Артамонов В.А. "Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры"//УМН,— 1969,— Т.24,— № 1,— стр. 47—59
• May J.P. "The geometry of iterated loop spaces", Lecture Notes in Mathematics, vol. 271,— Berlin: Springer-Verlag, 1972, 175 p.