Викия

Математика

Односторонний предел

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Односторо́нний преде́л в математическом анализепредел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

Определения Править

Пусть задана числовая функция f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} и a\in M'предельная точка области определения M.

  • Число A\in \mathbb{R} называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если
    \forall \varepsilon>0\; \exists \delta>0\; \forall x\in (a,a+\delta)\cap M \quad |f(x) - A| < \varepsilon;
  • Число A\in \mathbb{R} называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если
    \forall \varepsilon>0\; \exists \delta>0\; \forall x\in (a-\delta,a)\cap M \quad |f(x) - A| < \varepsilon;

Обозначения Править

  • Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
    \lim\limits_{x\to a+}f(x), \lim\limits_{x\to a+0}f(x), \lim_{x \downarrow 0} f(x), \lim_{x \searrow 0} f(x);
  • Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
    \lim\limits_{x\to a-}f(x), \lim\limits_{x\to a-0}f(x), \lim_{x \uparrow 0} f(x), \lim_{x \nearrow 0} f(x).

Односторонний предел как предел вдоль фильтра Править

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть M \subset \mathbb{R}, и a \in M'. Тогда системы множеств

\mathfrak{B}_+ = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta > 0 \}

и

\mathfrak{B}_- = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta > 0 \}

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

\lim\limits_{\mathfrak{B}_+} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a+}f(x);
\lim\limits_{\mathfrak{B}_-} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a-}f(x).

Свойства Править

  • Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
  • Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

Примеры Править

Файл:Discontinuity jump.eps.png
  1. Пусть M = \mathbb{R}\setminus \{3\}, и
    f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2, & x< 3 \\ 11-(x-3)^2,& x>3\end{matrix}\right.,\; x\in M.
    Тогда (см. рис.)
    \lim_{x\to 3-} f(x) = 9;
    \lim_{x\to 3+} f(x) = 11.
    Поскольку односторонние пределы функции f(x) в точке 3 различны, то предела данной функции в 0 не существует.
  2. Пусть M = \mathbb{R} \setminus \{0\}, и f(x) = \frac{x}{|x|},\; x\in M. Тогда
    \lim_{x \to 0-}f(x) = -1;
    \lim_{x \to 0+}f(x) = 1.
    Опять, поскольку односторонние пределы функции f(x) в точке 0 различны, то предела данной функции в 0 не существует.

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики