Викия

Математика

Ограниченный линейный оператор

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Линейный оператор T из нормированного пространства X в нормированное пространство Y называется ограниченным если найдётся положительное вещественное число M такое что \lVert Tx\rVert\le M\lVert x\rVert для всех x в X. Наименьшая константа M удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора T и обозначается \lVert T\rVert. Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из из нормированного пространства X в нормированное пространство Y обозначается L(X,Y). В случае когда X=Y пишут L(X) вместо L(X,X). Если HГильбертово пространство, то обычно пишут B(H) вместо L(H). На L(X,Y) можно ввести структуру векторного пространства через (T+S)x=Tx+Sx и T(\alpha x)=\alpha (Tx), где T,S\in L(X,Y), x,y\in X, а \alpha — произвольный скаляр. С введённой выше операторной нормой, L(X,Y) превращается в нормированное пространство. В частности, \lVert S+T\rVert\le\lVert S\rVert+\lVert T\rVert и \lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert для любых T,S\in L(X,Y) и произвольного скаляра \alpha. Пространство L(X,Y) является Банаховым тогда и только тогда когда YБанахово.

Пусть X,Y и Z — нормированные пространства, S\in L(X,Y) и T\in L(Y,Z). Композиция S и T обозначается TS и называется «произведением» операторов S и T. Заметим что TS\in L(X,Z) и \lVert TS\rVert\le\lVert T\rVert\cdot\lVert S\rVert. Если XБанахово пространство, то L(X) с введённым выше умножением является Банаховой алгеброй.

См. также Теория операторов.

Викия-сеть

Случайная вики