Викия

Математика

Обратные тригонометрические функции

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкцииматематические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

  • аркси́нус (обозначение: arcsin)
  • аркко́синус (обозначение: arccos)
  • аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)
  • арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccotan)
  • арксе́канс (обозначение: arcsec)
  • арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin−1 для арксинуса и т.п.; это считается неоправданным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.


Основное соотношение Править

\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2},
\operatorname{arctg}\, x + \operatorname{arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}.

/math>

Функция arccos Править

Файл:Arccos function.png

Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого \cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1.

Функция y=\arccos x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\arccos x является строго убывающей.

  • \cos (\arccos x)=x при -1 \leqslant x \leqslant 1,
  • \arccos (\cos y) = y при 0 \leqslant y \leqslant \pi.
  • D(\arccos x)=[-1; 1], (область определения),
  • E(\arccos x)=[0; \pi]. (область значений).

Свойства функции arccos Править

  • \arccos(-x) = \pi - \arccos x (функция центрально-симметрична относительно точки \left (0; \frac{\pi}{2}\right).
  • \arccos x > 0 при x>0
  • \arccos x = 0 при x=1.
  • \arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 
\end{matrix}\right.
  • \arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 
\\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}
\right.

Получение функции arccos Править

Дана функция y=\cos x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\arccos x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения — [0; \pi]. На этом отрезке y=\cos x строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0; \pi] существует обратная функция y = \arccos x, график которой симметричен графику y=\cos x на отрезке [0; \pi] относительно прямой y=x.

Функция arctg Править

Файл:Arctg.png

Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого \operatorname{tg}\, x = m, \qquad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}.

Функций y=\operatorname{arctg} x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\operatorname{arctg} x является строго возрастающей.

  • \operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x при x \in \mathbb R,
  • \operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y при -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},
  • D(\operatorname{arctg}\,x) \in \mathbb R,
  • E(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)

Свойства функции arctg Править

  • \operatorname{arctg}\,(-x) = -\operatorname{arctg}\,x (функция нечётная).
  • \operatorname{arctg}\,x>0 при x>0.
  • \operatorname{arctg}\,x=0 при x=0.
  • \operatorname{arctg}\,x<0 при x<0.
  • \operatorname{arctg}\,x = \left\{\begin{matrix} \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad  x \geqslant 0 
\\-\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad 0 \leqslant x \end{matrix}\right.
  • \operatorname{arctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{1}{x},  x > 0 
\\\operatorname{arcctg}\, \frac{1}{x} - \pi,\qquad 0\leqslant x\end{matrix}\right.

Получение функции arctg Править

Дана функция y=\operatorname{tg}\, x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\operatorname{arctg}\, x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right). На этом отрезке y=\operatorname{tg}\, x строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) существует обратная функция y=\operatorname{arctg}\, x, график которой симметричен графику y=\operatorname{tg}\,x на отрезке \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) относительно прямой y=x.

Функция arcctg Править

Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого \operatorname{ctg}\,x = m,\qquad 0 < x \pi.

Функция y=\operatorname{arcctg}\, x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\operatorname{arcctg}\, x является строго убывающей.

  • \operatorname{ctg}\,(\operatorname{arcctg}\, x) = x при x \in \mathbb R,
  • \operatorname{arcctg}\,(\operatorname{ctg}\, y) = y при 0<y<\pi,
  • D(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty),
  • E(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi).

Свойства функции arcctg Править

  • \operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x (график функции центрально-симметричен относительно точки \left(0; \frac{\pi}{2}\right).
  • \operatorname{arcctg}\, x > 0 при любых x.
  • \operatorname{arcctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad  x \geqslant 0 
\\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad 0 \leqslant x\end{matrix}\right.

Получение функции arcctg Править

Дана функция y=\operatorname{ctg}\, x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\operatorname{arcctg}\, x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — (0; \pi). На этом отрезке y=\operatorname{ctg}\, x строго возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (0; \pi) существует обратная функция y=\operatorname{arcctg}\, x, график которой симметричен графику y=\operatorname{ctg}\, x на отрезке (0; \pi) относительно прямой y=x.

Функция arcsec Править

Функция arccosec Править

Производные от обратных тригонометрических функций Править

  • (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
  • (\arccos x)' = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.
  • (\operatorname{arctg}\, x)' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.
  • (\operatorname{arcctg}\, x)' = -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.

Интегралы от обратных тригонометрических функций Править

Неопределённые интегралы Править


\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\
\int \operatorname{arctg}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\
\int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\
\int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C.
\end{align}

Разложение в бесконечные ряды Править


\begin{align}
\arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots =\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1.
\end{align}

\begin{align}
\arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z =\\
& {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) =\\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1. 
\end{align}

\begin{align}
\operatorname{arctg}\,z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots =\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i.
\end{align}

\begin{align}
\operatorname{arcctg}\,z & {}= \frac {\pi} {2} - \operatorname{arctg}\,z =\\
& {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) =\\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i.
\end{align}

\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) =\\
& {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) =\\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} 
; \qquad \left| z \right| \ge 1. 
\end{align}

\begin{align}
\operatorname{arccosec}\,z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) =\\
& {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots =\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
; \qquad \left| z \right| \ge 1. 
\end{align}

Для арктангенса используется также более быстро сходящийся ряд, открытый Леонардом Эйлером:

\operatorname{arctg}\,x = \frac{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}

(член в сумме при n= 0 принимается равным 1).

См. также Править


pl:Funkcje odwrotne do trygonometrycznych

Викия-сеть

Случайная вики