Викия

Математика

Обратная функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Обра́тная фу́нкцияфункция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

ОпределениеПравить

Пусть дано биективное отображение F: X \to Y. Тогда по определению биекции для каждого y \in Y существует в точности один x \in X, такой что F(x) = y. Таким образом построена функция y\in Y \mapsto x\in X. Эта функция называется обратной к F и обозначается F^{-1}.

ЗамечанияПравить

  • Областью определения F^{-1} является множество Y, а областью значений множество X.
  • По построению имеем:
y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)

или

F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y,
F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X,

или короче

 F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y,
 F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X,

где \circ означает композицию функций, а \mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y - тождественные отображения на X и Y соответственно.

  • Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение y = F(x) относительно x, и затем поменять местами x и y. Если уравнение y = F(x) имеет более чем один корень, то функции обратной к F не существует.
  • Функция F является обратной к F^{-1}:
\left(F^{-1}\right)^{-1} = F.
  • Пусть F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R} - биекция. Пусть F^{-1}:Y \to X её обратная функция. Тогда графики функций y = F(x) и y = F^{-1}(x) симметричны относительно прямой y = x.

ПримерыПравить

  • Если F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x, где a>0, то F^{-1}(x) = \log_a x.
  • Если F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}, где a,b\in \mathbb{R} фиксированные постоянные, то F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.
  • Если F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z, то F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Обратная функция русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики