Математика
Регистрация
Advertisement

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин.

Обобщённые функции были введены впервые в конце 20-х годов XX в. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие δ-функции и её производных.

Основы математической теории обобщённых функций были заложены Соболевым при решении задачи Коши для гиперболических уравнений, а в 50-х годах Шварц (Schwartz) дал систематическое изложение теории обобщённых функций и указал многие применения.

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений.

Определение[]

Формально обобщённая функция определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших» (основных) функций . Важным примером основного пространства является пространство — совокупность финитных -функций на , снабженная естественной для неё топологией: последовательность функций из сходится если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они -сходятся.

Сопряжённое пространство к есть пространство обобщённых функций . Сходимость последовательности обобщённых функций из определяется как слабая сходимость функционалов из , то есть , в означает, что , для любой .

Для того чтобы линейный функционал на был обобщённой функцией , то есть , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества существовали числа и такие, что

для всех с носителем в .

Если в неравенстве число можно выбрать независящим от , то обобщённая функция имеет конечный порядок; наименьшее такое называется порядком .

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми в функциями f(x) по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция из совпадает в с локально суммируемой в функцией , если

для всех с носителм в . В частности, при получается определение того, что обобщённая функция обращается в нуль внутри . Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции и обозначается . Если компактен, то обобщённая функция называется финитной.

Примеры[]

  • Любая локально конечная мера определяет обобщенную функцию
.
В частности
  • Примером сингулярной обобщённой функции в служит δ-функция Дирака
,
Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке . -функция имеет порядок 1.
  • Поверхностная δ-функция. Пусть — кусочно гладкая поверхность и — непрерывная функция на . Обобщённая функция определяется равенством
При этом — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщенная функция описывает пространственную плотность масс пли зарядов, сосредоточенных на поверхности с поверхностной плотностью (плотность простого слоя).
  • Обобщённая функция определяемая равенством
(для гладких финитных функций этому интегралу можно предать смысл) функция сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве она регулярна и совпадает с .

Операции[]

Линейные операции над обобщенными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями:

  • Замена переменных. Пусть и — гладкая замена переменных. Обобщенная функция определяется равенством
где обозначает якобиан . Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению , она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщенные функции.
  • Произведение. Пусть и . Произведение определяется равенством
Например , . Для обычных локально суммируемых функций произведение совпадает с обычным умножением функций и . Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщенные функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной[1][2]. Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:
  • Дифференцирование. Пусть . Обобщенная (слабая) производная обобщенной функции определяется равенством
Так как операция линейна и непрерывна из в , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщенная функция.

Свойства[]

  • Пространство полное: если последовательность обобщённых функций из такова, что для любой функции числовая последовательность сходится, то функционал
принадлежит .
  • Всякая из есть слабый предел функций из . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
  • Любая обобщенная функция из бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле).
  • Дифференцирование не увеличивает носителя обобщенной функции.
  • Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения , где .
  • Всякая обобщенная функция из есть некоторая частная производная от непрерывной функции в .
  • Для любой обобщённой функции порядка с носителем в точке 0 существует единственное представление в виде линейной комбинации частных производных в нуле, с порядком .

Литература[]

  1. Ю. М. Широков, Алгебра одномерных обобщенных функций. Теоретическая и математическая физика, 1979, том 39, № 3, стр. 291-301.
  2. Г, К. Толоконников. Об Алгебрах Ю. М. Широкова. Теоретическая и математическая физика, 1979, том 39, № 3, стр. 366-375.

nl:Distributie (wiskunde) pl:Teoria dystrybucji sv:Distribution

Advertisement