Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.
С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин.
Обобщённые функции были введены впервые в конце 20-х годов XX в. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие δ-функции и её производных.
Основы математической теории обобщённых функций были заложены Соболевым при решении задачи Коши для гиперболических уравнений, а в 50-х годах Шварц (Schwartz) дал систематическое изложение теории обобщённых функций и указал многие применения.
В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений.
Определение[]
Формально обобщённая функция определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших» (основных) функций . Важным примером основного пространства является пространство — совокупность финитных -функций на , снабженная естественной для неё топологией: последовательность функций из сходится если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они -сходятся.
Сопряжённое пространство к есть пространство обобщённых функций . Сходимость последовательности обобщённых функций из определяется как слабая сходимость функционалов из , то есть , в означает, что , для любой .
Для того чтобы линейный функционал на был обобщённой функцией , то есть , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества существовали числа и такие, что
для всех с носителем в .
Если в неравенстве число можно выбрать независящим от , то обобщённая функция имеет конечный порядок; наименьшее такое называется порядком .
Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями
Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми в функциями f(x) по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.
Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция из совпадает в с локально суммируемой в функцией , если
для всех с носителм в . В частности, при получается определение того, что обобщённая функция обращается в нуль внутри . Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции и обозначается . Если компактен, то обобщённая функция называется финитной.
Примеры[]
- Любая локально конечная мера определяет обобщенную функцию
- .
- В частности
- Примером сингулярной обобщённой функции в служит δ-функция Дирака
- ,
- Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке . -функция имеет порядок 1.
- Поверхностная δ-функция. Пусть — кусочно гладкая поверхность и — непрерывная функция на . Обобщённая функция определяется равенством
- При этом — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщенная функция описывает пространственную плотность масс пли зарядов, сосредоточенных на поверхности с поверхностной плотностью (плотность простого слоя).
- Обобщённая функция определяемая равенством
- (для гладких финитных функций этому интегралу можно предать смысл) функция сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве она регулярна и совпадает с .
Операции[]
Линейные операции над обобщенными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями:
- Замена переменных. Пусть и — гладкая замена переменных. Обобщенная функция определяется равенством
- где обозначает якобиан . Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению , она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщенные функции.
- Произведение. Пусть и . Произведение определяется равенством
- Например , . Для обычных локально суммируемых функций произведение совпадает с обычным умножением функций и . Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщенные функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной[1][2]. Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:
- Дифференцирование. Пусть . Обобщенная (слабая) производная обобщенной функции определяется равенством
- Так как операция линейна и непрерывна из в , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщенная функция.
Свойства[]
- Пространство — полное: если последовательность обобщённых функций из такова, что для любой функции числовая последовательность сходится, то функционал
- принадлежит .
- Всякая из есть слабый предел функций из . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
- Любая обобщенная функция из бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле).
- Дифференцирование не увеличивает носителя обобщенной функции.
- Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения , где .
- Всякая обобщенная функция из есть некоторая частная производная от непрерывной функции в .
- Для любой обобщённой функции порядка с носителем в точке 0 существует единственное представление в виде линейной комбинации частных производных в нуле, с порядком .
Литература[]
nl:Distributie (wiskunde) pl:Teoria dystrybucji sv:Distribution