Викия

Математика

Обобщённая функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин.

Обобщённые функции были введены впервые в конце 20-х годов XX в. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие δ-функции и её производных.

Основы математической теории обобщённых функций были заложены Соболевым при решении задачи Коши для гиперболических уравнений, а в 50-х годах Шварц (Schwartz) дал систематическое изложение теории обобщённых функций и указал многие применения.

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений.

Определение Править

Формально обобщённая функция f определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших» (основных) функций f:\phi\mapsto (f,\phi). Важным примером основного пространства является пространство D(\R^n) — совокупность финитных C^\infty-функций на \R^n, снабженная естественной для неё топологией: последовательность функций из D(\R^n) сходится если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они C^\infty-сходятся.

Сопряжённое пространство к D(\R^n) есть пространство обобщённых функций D'(\R^n). Сходимость последовательности обобщённых функций из D' (\R^n) определяется как слабая сходимость функционалов из D'(\R^n), то есть f_n\to f, в D' (\R^n) означает, что (f_n,\phi)\to(f,\phi), для любой \phi\in D(\R^n).

Для того чтобы линейный функционал f на D(\R^n) был обобщённой функцией , то есть f\in D'(\R^n), необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества \Omega существовали числа K и m такие, что

|(f,\phi)|\le K|\phi|_{C^m}

для всех \phi с носителем в \Omega.

Если в неравенстве число m можно выбрать независящим от \Omega, то обобщённая функция f имеет конечный порядок; наименьшее такое m называется порядком f.

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

(f,\phi)=\int_{\R^n}f\phi

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми в функциями f(x) по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция f из D'(\R^n) совпадает в \Omega с локально суммируемой в \Omega функцией f_0(x), если

(f,\phi)=(f_0,\phi)

для всех \phi с носителм в \Omega. В частности, при f_0=0 получается определение того, что обобщённая функция f обращается в нуль внутри \Omega. Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции f и обозначается \operatorname{supp}f. Если \operatorname{supp}f компактен, то обобщённая функция f называется финитной.

ПримерыПравить

  • Любая локально конечная мера \mu определяет обобщенную функцию f_\mu
(f_\mu,\phi)=\int\phi(x)d\mu(x).
В частности
  • Примером сингулярной обобщённой функции в \R^n служит δ-функция Дирака
(\delta,\phi)=\phi(0),
Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке x=0.  \delta-функция имеет порядок 1.
  • Поверхностная δ-функция. Пусть S — кусочно гладкая поверхность и \lambda — непрерывная функция на S. Обобщённая функция f_{S,\lambda} определяется равенством
(f_{S,\lambda},\phi)=\int_S\phi\lambda
При этом f_{S,\lambda} — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщенная функция описывает пространственную плотность масс пли зарядов, сосредоточенных на поверхности S с поверхностной плотностью \lambda (плотность простого слоя).
  • Обобщённая функция \rho \in D'(\R) определяемая равенством
(\rho,\phi)=\int_\R\frac{\phi(x)}xdx
(для гладких финитных функций этому интегралу можно предать смысл) функция \rho сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве \R\backslash \{0\} она регулярна и совпадает с \frac 1x.

ОперацииПравить

Линейные операции над обобщенными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями:

  • Замена переменных. Пусть f\in D'(\R^n) и A:\R^n\to \R^n — гладкая замена переменных. Обобщенная функция f\circ A определяется равенством
(f\circ A,\phi)=(f,\phi\circ A^{-1}J(A))
где J(A) обозначает якобиан A. Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению A, она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщенные функции.
  • Произведение. Пусть f\in D' (\R^n) и a\in C^\infty(\R^n). Произведение af=fa определяется равенством
(af,\phi)=(f,a\phi)
Например a\delta=a(0)\delta, x\rho=1. Для обычных локально суммируемых функций произведение af совпадает с обычным умножением функций f(x) и a(x). Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщенные функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной[1][2]. Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:
(x\delta)\rho=0\rho=0
(x\rho)\delta=1\delta=\delta
  • Дифференцирование. Пусть f\in D' (\R^n). Обобщенная (слабая) производная обобщенной функции \frac{\partial f}{\partial  x_i} определяется равенством
(\frac{\partial f}{\partial  x_i},\phi)=-(f,\frac{\partial \phi}{\partial  x_i})
Так как операция \phi\mapsto \frac{\partial \phi}{\partial  x_i} линейна и непрерывна из D (\R^n) в D(\R^n), то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщенная функция.

СвойстваПравить

  • Пространство D'(\R^n)полное: если последовательность обобщённых функций f_i из D'(\R^n) такова, что для любой функции \phi\in D(\R^n) числовая последовательность (f_i,\phi) сходится, то функционал
(f, \phi)= \lim_{i\to\infty} (f_i, \phi)
принадлежит D'(\R^n).
  • Всякая f из D'(\R^n) есть слабый предел функций из D(\R^n). Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
  • Любая обобщенная функция из D'(\R^n) бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле).
  • Дифференцирование не увеличивает носителя обобщенной функции.
  • Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения af, где a\in C^\infty(\R^n).
  • Всякая обобщенная функция f из D'(\R^n) есть некоторая частная производная от непрерывной функции в \R^n.
  • Для любой обобщённой функции f порядка N с носителем в точке 0 существует единственное представление (f,\phi) в виде линейной комбинации частных производных \phi в нуле, с порядком \le N.

ЛитератураПравить

  1. Ю. М. Широков, Алгебра одномерных обобщенных функций. Теоретическая и математическая физика, 1979, том 39, № 3, стр. 291-301.
  2. Г, К. Толоконников. Об Алгебрах Ю. М. Широкова. Теоретическая и математическая физика, 1979, том 39, № 3, стр. 366-375.
nl:Distributie (wiskunde)

pl:Teoria dystrybucji sv:Distribution

Викия-сеть

Случайная вики