Викия

Математика

Обобщённая схема размещения

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Обобщённая схема размещения [1-3] частиц по ячейкам определяется следующим образом. Пусть неотрицательные целочисленные случайные величины (с.в.) \eta_1,\dots,\eta_N, сумма которых равна n, связаны с неотрицательными целочисленными независимыми с.в. \xi_1,\dots,\xi_N следующим соотношением:

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\mathbb{P}\{\xi_1=k_1,\dots,\xi_N=k_N\;|\;\xi_1+\dots+\xi_N=n\}
\qquad(1)

для всех целых неотрицательных k_1,\dots,k_N, сумма которых равна n. Тогда говорят, что с.в. \eta_1,\dots,\eta_N,\xi_1,\dots,\xi_N образуют обобщённую схему размещения (ОСР).

Если ОСР симметрична, то есть все с.в. \xi_k имеют одинаковое распределение, то вероятность, стоящую справа в (1), можно записать в виде:

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{p_{k_1}\dots p_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n}p_{j_1}\dots p_{j_N}},\qquad(2)

где p_k=\mathbb{P}\{\xi_1=k\},\quad k=0,1,2\dots

Наиболее распространенным случаем ОСР является каноническая схема размещения [4], для которой

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{b_{k_1}\dots b_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n}b_{j_1}\dots b_{j_N}},\qquad(3)

где b_0,b_1,\dots — последовательность неотрицательных чисел такая, что b_0>0, радиус сходимости ряда B(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_kx^k равен 1, максимальный шаг носителя последовательности b_0,b_1,\dots равен 1.

К канонической схеме путем линейного преобразования с.в. \eta_1,\dots,\eta_N сводятся все схемы вида (3) без указанных выше ограничений на последовательность \{b_k\} с одним только условием — конечного и ненулевого радиуса сходимости B(x). Схема (3), очевидно, является частным случаем (2) и, следовательно, (1). C другой стороны, классическая схема размещения (схема равновероятного размещения частиц по ячейкам), в которой

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{n!}{k_1!\dots\;k_N!N^n},

не сводится к канонической, так как радиус сходимости B(x)=e^x равен бесконечности. Но она является частным случаем (2) (и, следовательно, (1)). Классическая схема была детально изучена в [2].

Схемы размещения вида (1), (2) и (3) является удобным средством изучения таких случайных объектов, как леса Гальтона-Ватсона [5], случайные подстановки [3], рекурсивные леса [6] и т. д.

См. также Править

Литература Править

  • [1] Колчин В. Ф. Случайные отображения. М., Наука, 1984.
  • [2] Колчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения. М., Наука, 1976.
  • [3] Колчин В. Ф. Случайные графы. М., Физматлит, 2000.
  • [4] Казимиров Н. И. Леса Гальтона-Ватсона и случайные подстановки. Дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук, Петрозаводск, Кар НЦ РАН, 2003.
  • [5] Pavlov Yu. L. Random Forests. Utrecht, VSP, 2000.
  • [6] Павлов Ю. Л., Лосева Е. А. Предельные распределения максимального объема дерева в случайном рекурсивном лесе. // Дискретная математика, 2002, 14, № 1, c.60-74.

Викия-сеть

Случайная вики