Викия

Математика

Область целостности

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие общей алгебры: коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Эквивалентное определение: область целостности — коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

ПримерыПравить

  • Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел \mathbb Z.
  • Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
  • Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо \mathbb{Z}[x] многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо \mathbb{R}[x,y] многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
  • Множество действительных чисел вида a+b\sqrt{2} есть подкольцо поля \mathbb{R}, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида a+bi, где a и b целые (множество гауссовых целых чисел).
  • Пусть U — связное открытое подмножество комплексной плоскости \mathbb{C}. Тогда кольцо H(U) всех голоморфных функций f:U\rightarrow\mathbb{C} будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
  • Если K — коммутативное кольцо, а I — идеал в K, то факторкольцо K/I целостное тогда и только тогда, когда I — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементыПравить

Пусть a и b — элементы целостного кольца K. Говорят, что «a делит b» или «a — делитель b» (и пишут a\mid b), если и только если существует элемент x\in K такой, что ax=b.

Делимость транзитивна: если a делит b и b делит c, то a делит c. Если a делит b и c, то a делит также их сумму b+c и разность b-c.

Для кольца K с единицей делители единицы, то есть элементы a\in K, делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в K имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда a = be, где e — обратимый элемент.

Ненулевой элемент q, не являющийся единицей называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент p называется простым, если из того, что p\mid ab, следует p\mid a или p\mid b. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце \mathbb{Z}, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если pпростой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал (p) будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

СвойстваПравить

  • Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
    • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
  • Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
  • Тензорное произведение колец целостных колец тоже будет целостным кольцом.
  • Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.

Вариации и обобщенияПравить

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

ИсточникиПравить

Викия-сеть

Случайная вики