Викия

Математика

Нульмерное пространство

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Нульмерное пространство в смысле ind ― топологическое пространство, обладающее базой из множеств одновременно открытых и замкнутых в нём.

Вариации Править

Иногда нульмерность пространства понимается более узко.

  • Пространство называется нульмерным в смысле dim, если во всякое его конечное открытое покрытие можно вписать открытое покрытие, элементы которого не пересекаются (то есть имеет нулевую размерность Лебега).
  • Пространство называется нульмерным в смысле Ind, если любая окрестность любого его замкнутого подмножества содержит открыто-замкнутую окрестность этого подмножества.

Свойства Править

  • Каждое дискретное пространство нульмерно, однако нульмерное пространство может не иметь изолированных точек (пример ― пространство рациональных чисел \mathbb Q).
  • Все нульмерные пространства вполне регулярны.
  • Нульмерность пространства наследуется его подпространствами и влечёт сильную несвязность пространства: единственными связными множествами в нульменом пространстве являются одноточечные и пустое. Однако последнее свойство, называемое вполне несвязностью, не равносильно нульмерности. Существуют ненульмерные пространства, в которых каждая точка представима в виде пересечения некоторого семейства открыто-замкнутых множеств, но среди таких пространств нет компактных.
  • В классе T_1-пространств нульмерность в смысле ind вытекает как из нульмерности в смысле dim, так и из нульмерности в смысле Ind.
  • В классе метризуемых пространств со счетной базой, а также в классе компактов указанные три определения нульмерности равносильны.
  • Для всех метризуемых пространств нульмерность в смысле dim равносильна нульмерности в смысле Ind, однако известен пример нульмерного в смысле ind метризуемого пространства, которое не нульмерно в смысле Ind.
  • Ни нульмерность в смысле dim, ни нульмерность в смысле Ind не наследуется, вообще говоря, подпространствами.
  • Среди T_1-пространств нульмерные пространства в смысле ind характеризуются с точностью до гомеоморфизма как подпространства обобщенных канторовых дисконтинуумов, то есть произведений двоеточий.
  • Любые вполне регулярные пространства можно получить как образы нульмерных пространств при достаточно хороших отображениях, например, при совершенных отображениях и при непрерывных открытых отображениях с компактными прообразами точек.
  • Однако непрерывные отображения, открытые и замкнутые одновременно, сохраняют нульмерность в смысле ind и в смысле Ind.

Литература Править

  • Александров П. С, Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973.


Эта статья содержит материал из статьи Нульмерное пространство русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики