Носитель функции

Носитель классической функции

Носитель функции u, определённой на множестве X — это подмножество X, на котором вещественно-значная функция u не обращается в ноль:

$\operatorname{supp}\ u = \left\{x \ |\ u(x) \ne 0 \right\}$

Наиболее распространённым является случай, когда функция u определена на топологическом пространстве X и является непрерывной. В таком случае носитель определяется, как наименьшее замкнутое подмножество X, за пределами которой u равняется нулю.

$\operatorname{supp}\ u = \overline{\left\{x \ |\ u(x) \ne 0 \right\}}$

Топологический носитель — это замыкание носителя в теории множеств.

Компактный носитель

Фукции с компактным носителем на X — те, носитель которых является компактным подмножеством X.

Например, если X — это вещественная прямая, то все непрерывные функции, обнуляющиеся при $|x|>C$, являются функциями с компактным носителем.

Функция называется финитной, если её носитель компактен.

Носитель обобщенной функции

Также можно ввести понятие носителя для обобщенной функции, то есть для функционала на множестве бесконечногладких финитных функций.

Формальное определение

Рассмотрим обобщенную функцию $f$ и все множества $K$ такие, что если финитная функция $\phi$ обнуляется на множестве $K$, то значение $f(\phi)$ равно 0.

Наименьшее (по включению) из таких множеств называется носителем обобщенной функции $f$. (Иначе можно сказать, что $\operatorname{supp}\ f$ является пересечением всех таких $K$)

Стоит отметить, что носитель обобщенной функции будет непустым компактным множеством.

Замечание Заметим, что такое определение носителя не совпадает с классическим. Действительно, обобщенная функция $f$ определена на пространстве бесконечно-гладких финитных функций $C_0^{\infty}(X)$, а значит, классический носитель должен быть подмножеством $C_0^{\infty}(X)$, в то время как носитель обобщенной функции есть подмножество $X$

Примеры

В качестве примера можно рассмотреть рассмотреть функцию Дирака δ(x).

Возьмем любую бесконечно-гладкую финитную функцию $\phi$ с носителем, не включающим точку 0. Так как $\delta(''\phi'')$ ($\delta$ применяется как линейный функционал к $\phi$) равно нулю для таких функций, мы можем сказать, что носитель $\delta$ — это только точка {0}.

Сингулярный носитель

В анализе Фурье в частности, интересно изучить сингулярный носитель обобщенной функции. Он имеет интуитивную интерпретацию, как набор точек в которых "обобщенная функция не сводится к обычной".

Формальное определение

Пусть $f$ - обобщенная функция. Ее можно представить в виде $f=u+v$, где $u$ - регулярная обобщенная функция, а $v$ - сингулярная обобщенная функция. (Такое представление, вообще говоря, не единственно)

Пересечение носителей $\operatorname{supp}\ v$ по всем возможным разложениям $f=u+v$ называется сингулярным носителем обобщенной функции $f$

Классическое обозначение сингулярного носителя $\operatorname{sing\ supp}\ f$

Примеры

Так, сингулярным носителем для функции Дирака является точка 0.

В данном частном случае сингулярный носитель и просто носитель обобщенной функции совпадают. Однако, это не есть общее свойство. Например, для обобщенной функции, действующей по формуле
$(f,\phi )=\int _{0}^{1}\phi \ dx+\phi (0)$,
носителем будет отрезок $[0,1]$, а сингулярным носителем точка 0.

Другим примером является преобразование Фурье для шаговой функции Хевисайда может быть рассмотрено с точностью до константы как $\operatorname 1/x$, за исключением точки, в которой x = 0. Так как это очевидно особая точка, то более точным является формулировка, что преобразование в качестве распределения имеет сингулярный носитель {0}.

Для распределений с несколькими переменными, сингулярные носители позволяют определять множества волнового фронта и понять принцип Гюйгенса в терминах математического анализа. Сингулярные носители также могут быть использованы для понимания феноменов, специфичных для теории распределений, таких как попытки 'перемножения' распределений (возведение в квадрат дельты-функции Дирака невозможно, в основном потому, что сингулярные носители распределений, которые перемножаются должны быть разделены).

Важное применение сингулярный носитель находит в теории псевдодифференциальных операторов (ПДО), в частности в теореме о псевдолокальности ПДО

Носитель меры

Так как меры (включая меры вероятности) на вещественной прямой являются особыми случаями обобщенных функций (распределений), мы также можем говорить о носителе меры таким же образом.

Литература

• Шубин М.А. Псевдо-дифференциальные операторы и спектральная теория. 2-е изд., "Добросвет", 2003

См. также

• Финитная функция
• Пространство основных функций
• Обобщенные функции, или распределения

cs:Nosič funkce pl:Nośnik funkcji vi:Giá (toán học)