Викия

Математика

Носитель функции

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Носитель классической функцииПравить

Носитель функции u, определённой на множестве X — это подмножество X, на котором вещественно-значная функция u не обращается в ноль:

\operatorname{supp}\ u = \left\{x \ |\ u(x) \ne 0 \right\}

Наиболее распространённым является случай, когда функция u определена на топологическом пространстве X и является непрерывной. В таком случае носитель определяется, как наименьшее замкнутое подмножество X, за пределами которой u равняется нулю.

\operatorname{supp}\ u = \overline{\left\{x \ |\ u(x) \ne 0 \right\}}

Топологический носитель — это замыкание носителя в теории множеств.


Компактный носительПравить

Фукции с компактным носителем на X — те, носитель которых является компактным подмножеством X.

Например, если X — это вещественная прямая, то все непрерывные функции, обнуляющиеся при  |x|>C, являются функциями с компактным носителем.

Функция называется финитной, если её носитель компактен.

Носитель обобщенной функцииПравить

Также можно ввести понятие носителя для обобщенной функции, то есть для функционала на множестве бесконечногладких финитных функций.

Формальное определениеПравить

Рассмотрим обобщенную функцию f и все множества  K такие, что если финитная функция  \phi обнуляется на множестве  K, то значение  f(\phi) равно 0.

Наименьшее (по включению) из таких множеств называется носителем обобщенной функции f. (Иначе можно сказать, что \operatorname{supp}\ f является пересечением всех таких  K)

Стоит отметить, что носитель обобщенной функции будет непустым компактным множеством.

Замечание Заметим, что такое определение носителя не совпадает с классическим. Действительно, обобщенная функция f определена на пространстве бесконечно-гладких финитных функций C_0^{\infty}(X), а значит, классический носитель должен быть подмножеством C_0^{\infty}(X), в то время как носитель обобщенной функции есть подмножество X

ПримерыПравить

В качестве примера можно рассмотреть рассмотреть функцию Дирака δ(x).

Возьмем любую бесконечно-гладкую финитную функцию  \phi с носителем, не включающим точку 0. Так как   \delta(''\phi'') ( \delta применяется как линейный функционал к  \phi) равно нулю для таких функций, мы можем сказать, что носитель  \delta — это только точка {0}.



Сингулярный носительПравить

В анализе Фурье в частности, интересно изучить сингулярный носитель обобщенной функции. Он имеет интуитивную интерпретацию, как набор точек в которых "обобщенная функция не сводится к обычной".

Формальное определениеПравить

Пусть  f - обобщенная функция. Ее можно представить в виде f=u+v, где  u - регулярная обобщенная функция, а v - сингулярная обобщенная функция. (Такое представление, вообще говоря, не единственно)

Пересечение носителей \operatorname{supp}\ v по всем возможным разложениям f=u+v называется сингулярным носителем обобщенной функции  f

Классическое обозначение сингулярного носителя \operatorname{sing\ supp}\ f

ПримерыПравить

Так, сингулярным носителем для функции Дирака является точка 0.

В данном частном случае сингулярный носитель и просто носитель обобщенной функции совпадают. Однако, это не есть общее свойство. Например, для обобщенной функции, действующей по формуле
(f,\phi)=\int_0^1\phi\ dx + \phi(0),
носителем будет отрезок [0,1], а сингулярным носителем точка 0.


Другим примером является преобразование Фурье для шаговой функции Хевисайда может быть рассмотрено с точностью до константы как \operatorname 1/x, за исключением точки, в которой x = 0. Так как это очевидно особая точка, то более точным является формулировка, что преобразование в качестве распределения имеет сингулярный носитель {0}.

Для распределений с несколькими переменными, сингулярные носители позволяют определять множества волнового фронта и понять принцип Гюйгенса в терминах математического анализа. Сингулярные носители также могут быть использованы для понимания феноменов, специфичных для теории распределений, таких как попытки 'перемножения' распределений (возведение в квадрат дельты-функции Дирака невозможно, в основном потому, что сингулярные носители распределений, которые перемножаются должны быть разделены).

Важное применение сингулярный носитель находит в теории псевдодифференциальных операторов (ПДО), в частности в теореме о псевдолокальности ПДО

Носитель мерыПравить

Так как меры (включая меры вероятности) на вещественной прямой являются особыми случаями обобщенных функций (распределений), мы также можем говорить о носителе меры таким же образом.

ЛитератураПравить

  • Шубин М.А. Псевдо-дифференциальные операторы и спектральная теория. 2-е изд., "Добросвет", 2003

См. такжеПравить


cs:Nosič funkcepl:Nośnik funkcjivi:Giá (toán học)

Викия-сеть

Случайная вики