Викия

Математика

Норма (математика)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Норма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства.

Норма в векторном линейном пространстве L над полем вещественных или комплексных чисел есть функция p:L \to \mathbb{R}, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. p(x) \ge 0, причём ~p(x)=0 только при ~x=0;
  2. p(x+y) \le p(x)+p(y) для всех x, y \in L (неравенство треугольника);
  3. ~p(\alpha x)=|\alpha|p(x) для каждого скаляра ~\alpha.

Норма ~x обычно обозначается \|x\|. Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.

Примеры норм в линейных пространствах

  • Гёльдеровы нормы n-мерных векторов (семейство): \|x\|_p = \sqrt[p]{\sum_{i} |x_i|^p}
  • Нормы функций в пространстве C[0,1]: \|f(x)\|_{C[0,1]} = \max_{x \in [0,1]}|f(x)|

Топология пространства и норма Править

Норма задаёт на пространстве топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида B(x,\epsilon)=\{y \mid \|x-y\|<\epsilon\}. Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

Эквивалентность норм Править

Две нормы p и q на пространстве L называются эквивалентными, если существует две положительные константы C_1 и C_2 такие, что для любого x \in L выполняется C_1 p(x) \leq q(x) \leq C_2 p(x). Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Операторная норма Править

Норма оператора A - число, которое определяется, как:

\|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.
где Aоператор, действующий из нормированного пространства L в нормированное пространство K.
  • Свойства операторных норм:
  1. \|A\| \ge 0, причём \|A\| = 0 только при A = 0;
  2. \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|;
  3. \|A + B\| \le \|A\| + \|B\|;
  4. \|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\|.

Матричная норма Править

Нормой матрицы A называется действительное число \|A\|, удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

  1. \|A\| \ge 0, причём \|A\| = 0 только при A = 0;
  2. \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|;
  3. \|A + B\| \le \|A\| + \|B\|;
  4. \|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\|.

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

Виды матричных норм Править

  1. m-норма: \|A\|_m = \max_i \sum_j |a_{ij}|
  2. l-норма: \|A\|_l = \max_j \sum_i |a_{ij}|
  3. Евклидова норма: \|A\|_E = \sqrt{\sum_{i, j} |a_{ij}|^2}
  4. Сингулярная норма (подчинена евклидовой норме векторов): \|A\|_2 = \max_i \sigma_i (A)


ca:Norma (matemàtiques)

da:Norm (matematik)he:נורמה (מתמטיקה)nl:Norm (wiskunde) pl:Norma (matematyka)sv:Norm (matematik) ur:امثولہ (ریاضی)

Викия-сеть

Случайная вики