Викия

Математика

Нормальное распределение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Нормальное распределение
Плотность вероятности
Плотность нормального распределения
Зелёная линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения
Функция распределения нормального распределения
Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Параметры \mu - коэффициент сдвига (вещественное число)
\sigma^2>0 - коэффициент масштаба (вещественный)
Носитель x \in (-\infty;+\infty)\!
Плотность вероятности \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!
Функция распределения \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \!
Математическое ожидание \mu
Медиана \mu
Мода \mu
Дисперсия \sigma^2
Коэффициент асимметрии 0
Коэффициент эксцесса 0
Информационная энтропия \ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!
Производящая функция моментов M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
Характеристическая функция \phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Характеристики распределения Править

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения \mu и масштаба \sigma (или, что тоже самое, дисперсией \sigma^2) имеет следующий вид:

p (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left( -\frac {(x - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right).

Функция распределения такой величины не выражается через элементарные функции и записывается по определению через интеграл Римана как

F (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \int _{-\infty} ^x \exp \left( -\frac {(t - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right) dt.

Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т. е. при \mu = 0,\ \sigma = 1) часто обзначают как \operatorname {\Phi} (\cdot):

\operatorname {\Phi} (x) = F (x; 0, 1) = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int _{-\infty} ^x \exp \left( -\frac {t^2} 2 \right) dt.

Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через \operatorname {\Phi} (\cdot):

F (x; \mu, \sigma) = \operatorname {\Phi} \left( \frac {x - \mu} \sigma \right).

Характеристическая функция нормального распределения имеет вид

f (t) = \operatorname {E} \{e ^ {i t \xi}\} = \exp \left( i \mu t - \frac {\sigma^2 t^2} 2 \right),

где \xi \sim N (\mu, \sigma^2) — нормально распредёленная с параметрами \mu и \sigma случайная величина.

Производящая функция моментов \xi определена для всех вещественных t задаётся формулой

M (t) = \operatorname {E} \{e ^ {t \xi}\} = \exp \left( \mu t + \frac {\sigma^2 t^2} 2 \right).

Процентили стандартного нормального распределенияПравить

Процентили стандартного нормального распределения задаются уравнением

\Phi(z_{\alpha}) = \alpha, \quad \alpha \in [0,1].

Ниже суммированы значения процентилей для наиболее чaсто встречающихся значений \alpha.

\alpha 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95
z_{\alpha} −1,6449 −1,2816 −1,0364 −0,8416 −0,6745 −0,5244 −0,3853 −0,2533 −0,1257 0 0,1257 0,2533 0,3853 0,5244 0,6745 0,8416 1,0364 1,2816 1,6449

Моделирование нормальных случайных величин Править

Неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения.

Тем не менее, использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.

Статистическая проверка принадлежности нормальному распределению Править

Поскольку нормальное распределение часто встречается на практике, то для него разработаны специальные статистические критерии: критерий Пирсона, критерий Колмогорова — Смирнова и др.

Курьёзы с нормальным распределением Править

В популярных психологических тестах часто используются списки вопросов, ответы на которые соответствуют определённым количествам баллов, которые затем суммируются. В зависимости от суммы, испытуемого причисляют к той или иной категории. Оказывается, что согласно центральной предельной теореме, если вопросы не имеют никакого смысла и никак не соотносятся с теми категориями, к которым причисляют испытуемых, а ответы случайны (то есть, если тест фальшивый), то распределение сумм окажется приближенно нормальным, а это значит, что большинство испытуемых окажутся причислены к некоей средней категории.

Поэтому, если в каком-то тесте вы (да ещё и ваши знакомые) оказались посередине шкалы, знайте, что это, вполне возможно, сработало нормальное распределение, а тест ничего не значит.

См. также Править

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править
ar:توزيع احتمالي طبيعي

bs:Normalna distribucija ca:Distribució normal cs:Normální rozdělení cy:Dosraniad normal da:Normalfordelingeo:Normala distribuofa:توزیع نرمالgl:Distribución normal he:התפלגות נורמלית hr:Normalna raspodjela hu:Normális eloszlás id:Distribusi normal is:Normaldreifinglt:Normalusis skirstinys lv:Normālsadalījums nl:Normale verdeling no:Normalfordeling pl:Rozkład normalnysimple:Normal distribution sr:Нормална расподела su:Sebaran normal sv:Normalfördelning uk:Нормальний розподіл ur:معمول توزیع vi:Phân bố chuẩn

Викия-сеть

Случайная вики