Нормальное распределение
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
| Плотность вероятности Файл:Normal distribution pdf.png Зелёная линия соответствует стандартному нормальному распределению | |
| Функция распределения Файл:Normal distribution cdf.png Цвета на этом графике соответствуют графику наверху | |
| Параметры |  - коэффициент сдвига (вещественное число) - коэффициент масштаба (вещественный)
|
| Носитель | 
|
| Плотность вероятности | 
|
| Функция распределения | 
|
| Математическое ожидание |
|
| Медиана |
|
| Мода |
|
| Дисперсия | 
|
| Коэффициент асимметрии | 0 |
| Коэффициент эксцесса | 
|
| Информационная энтропия | 
|
| Производящая функция моментов | 
|
| Характеристическая функция | 
|
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.
Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.
Содержание |
[править] Характеристики распределения
Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения и масштаба 
(или, что тоже самое, дисперсией ) имеет следующий вид:
Функция распределения такой величины не выражается через элементарные функции и записывается по определению через интеграл Римана как
Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т. е. при 
) часто обзначают как 
:
Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через :
Характеристическая функция нормального распределения имеет вид
где 
— нормально распредёленная с параметрами и случайная величина.
Производящая функция моментов 
определена для всех вещественных t задаётся формулой
[править] Процентили стандартного нормального распределения
Процентили стандартного нормального распределения задаются уравнением
.
Ниже суммированы значения процентилей для наиболее чaсто встречающихся значений 
.
| | 0,05 | 0,1 | 0,15 | 0,2 | 0,25 | 0,3 | 0,35 | 0,4 | 0,45 | 0,5 | 0,55 | 0,6 | 0,65 | 0,7 | 0,75 | 0,8 | 0,85 | 0,9 | 0,95 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 | −1,6449 | −1,2816 | −1,0364 | −0,8416 | −0,6745 | −0,5244 | −0,3853 | −0,2533 | −0,1257 | 0 | 0,1257 | 0,2533 | 0,3853 | 0,5244 | 0,6745 | 0,8416 | 1,0364 | 1,2816 | 1,6449 |
[править] Моделирование нормальных случайных величин
Неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения.
Тем не менее, использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.
[править] Статистическая проверка принадлежности нормальному распределению
Поскольку нормальное распределение часто встречается на практике, то для него разработаны специальные статистические критерии: критерий Пирсона, критерий Колмогорова — Смирнова и др.
[править] Курьёзы с нормальным распределением
В популярных психологических тестах часто используются списки вопросов, ответы на которые соответствуют определённым количествам баллов, которые затем суммируются. В зависимости от суммы, испытуемого причисляют к той или иной категории. Оказывается, что согласно центральной предельной теореме, если вопросы не имеют никакого смысла и никак не соотносятся с теми категориями, к которым причисляют испытуемых, а ответы случайны (то есть, если тест фальшивый), то распределение сумм окажется приближенно нормальным, а это значит, что большинство испытуемых окажутся причислены к некоей средней категории.
Поэтому, если в каком-то тесте вы (да ещё и ваши знакомые) оказались посередине шкалы, знайте, что это, вполне возможно, сработало нормальное распределение, а тест ничего не значит.
[править] См. также
| править | |||||||||||
bs:Normalna distribucija ca:Distribució normal cs:Normální rozdělení cy:Dosraniad normal da:Normalfordelingeo:Normala distribuofa:توزیع نرمالgl:Distribución normal he:התפלגות נורמלית hr:Normalna raspodjela hu:Normális eloszlás id:Distribusi normal is:Normaldreifingja:正規分布lt:Normalusis skirstinys lv:Normālsadalījums nl:Normale verdeling no:Normalfordeling pl:Rozkład normalnysimple:Normal distribution sr:Нормална расподела su:Sebaran normal sv:Normalfördelning uk:Нормальний розподіл ur:معمول توزیع vi:Phân bố chuẩn zh:正态分布
