ФЭНДОМ


Файл:Function-x.svg
Файл:Function x^2.svg

Нечётная фу́нкция — это функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.

Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.

Определения Править

  • Функция $ f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ называется нечётной, если справедливо равенство
$ f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in [-X,X]. $
  • Функция $ f $ называется чётной, если выполнено равенство
$ f(-x) = f(x),\quad \forall x \in [-X,X]. $
  • Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.

Свойства Править

  • График нечётной функции симметричен относительно начала координат $ O $.
  • График чётной функции симметричен относительно оси ординат $ Oy $.
  • Произвольная функция $ f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
$ f(x) = g(x) + h(x), $

где

$ g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}. $
  • Функция $ f(x) \equiv 0 $ — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
  • Сумма двух нечётных функций сама нечётна.
  • Сумма двух чётных функций сама чётна.
  • Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
  • Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
  • Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
  • Композиция двух нечётных функция нечётна.
  • Композиция двух чётных функций чётна.
  • Композиция чётной функции с нечётной чётна.
  • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).

Примеры Править

Нечётные функцииПравить

  • функции с нечетными степенями
  • .y=sin x, y=tg x, y=ctg x

Чётные функцииПравить

  • Чётная степень $ f(x) = x^{2k},\quad x\in \mathbb{R} $ где $ k\in \mathbb{Z} $ — произвольное целое число.

Вариации и обобщенияПравить


cs:Sudé a liché funkcefa:توابع زوج و فردhe:פונקציות זוגיות ואי-זוגיות hu:Páros és páratlan függvényekpl:Funkcje parzyste i nieparzysteth:ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ uk:Непарна функція