Викия

Математика

Нестандартный анализ

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Нестандартный анализ — раздел математической логики, посвященный приложению теории нестандартных моделей к исследованиям в традиционных областях математики: математическом анализе, теории функций, теории дифференциальных уравнений, топологии и др. В нестандартном анализе на строгой математической основе реализуется до некоторой степени идея Лейбница и его последователей о существовании бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в последующем развитии математического анализа была заменена точным понятием предела переменной величины.

В общих чертах основной метод нестандартного анализа можно описать следующим образом. Рассматривается некоторая математическая структура M и строится логико-математический язык 1-го порядка, отражающий аспекты этой структуры, интересующие исследователя. Затем методами теории моделей строятся нестандартная модель теории структуры M, являющаяся собственным расширением M. При надлежащем построении новые, нестандартные, элементы модели могут быть истолкованы как предельные, «идеальные» элементы первоначальной структуры. Например, если первоначально рассматривалось упорядоченное поле вещественных чисел, то нестандартные элементы модели естественно рассматривать как «инфинитезимальные», т. е. бесконечно большие или бесконечно малые, но отличные от нуля вещественные числа. При этом все обычные отношения между вещественными числами автоматически переносятся и на нестандартные элементы с сохранением всех их свойств, выразимых в логико-математическом языке. Подобным образом в теории фильтров на данном множестве нестандартный элемент определяет непустое пересечение всех элементов фильтра; в топологии возникает семейство нестандартных точек, расположенных «бесконечно близко» к данной точке. Истолкование нестандартных элементов модели часто позволяет дать удобные критерии для обычных понятий в терминах нестандартных элементов. Например, можно доказать, что стандартная действительная функция f(x) непрерывна в стандартной точке x_0 тогда и только тогда, когда f(x) бесконечно близка к f(x_0) для всех (и нестандартных) точек бесконечно близких к x_0. Полученные критерии могут быть с успехом применены к доказательству обычных математических результатов.

Результаты, полученные методами нестандартного анализа, могут быть естественно передоказаны и обычным образом, но рассмотрение нестандартной модели имеет то значительное преимущество, что позволяет актуально вводить в рассуждение «идеальные» элементы, что позволяет давать прозрачные формулировки для многих понятий, связанных с предельными переходами от конечного к бесконечному.

С помощью нестандартного анализа был обнаружен ряд новых фактов. Многие классические доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа.he:אנליזה לא סטנדרטיתsv:Icke-standardanalys

Викия-сеть

Случайная вики