Несобственный интеграл

Определение[]

Пусть $f(x)$ определена на множестве от $[a, +\infty)$ и $\forall A>a \Rightarrow \exists \int_{a}^{A} f(x)dx$ . Тогда:

Если $\exists \lim_{A \to +\infty}\int_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$ , то используется обозначение $I=\int_{a}^{+\infty} f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае $I=\int_{a}^{+\infty} f(x)dx$ называется сходящимся.
Если $\lim_{A \to +\infty}\int_{a}^{A} f(x)dx = \infty \ (\pm \infty$ или $\not\exists)$ , то обозначается $\int_{a}^{+ \infty}f(x)dx$ В этом случае интеграл называется расходящимся к $''\infty'', \ ''\pm \infty''$ , или просто расходящимся.

Пусть $f(x)$ определена на $(a, b]$ и $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$ . Тогда:

Если $\exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$ , то используется обозначение $I=\int_{a}^{b} f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
Если $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ или $\not\exists)$ , то обозначение сохраняется, а $\mathcal{I}=\int_{a}^{b} f(x)dx$ называется расходящимся к $''\infty'', \ ''\pm \infty''$ , или просто расходящимся.

Критерий Коши[]

1. Пусть $f(x)$ определена на множестве от $[a, +\infty)$ и $\forall A>a \Rightarrow \exists \int_{a}^{A} f(x)dx = \mathcal{I}$ .

Тогда

\mathcal{I}=\int_{a}^{+\infty} f(x)dx

сходится

\Leftrightarrow \exists A(\varepsilon) > a : \forall (A_2 > A_1 > A) \Rightarrow \left|\int_{A_1}^{A_2} f(x)dx\right| < \varepsilon

2. Пусть $f(x)$ определена на $(a, b]$ и $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}$ .

Тогда

\mathcal{I}=\int_{a}^{b} f(x)dx

сходится

\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \Rightarrow \exists \delta(\varepsilon) > 0 : \forall (0 < \delta_1 < \delta_2 < \delta) \Rightarrow \left|\int_{a+\delta_1}^{a+\delta_2} f(x)dx\right| < \varepsilon

Абсолютная сходимость[]

Интеграл $\int_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int_{a}^{b} f(x)dx\right)$ называется абсолютно сходящимся, если $\int_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int_{a}^{b} |f(x)|dx\right)$ сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.