Викия

Математика

Несобственный интеграл

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Определение Править

Пусть f(x) определена на множестве от [a,+\infty) и \forall A>a \Rightarrow \exists \int_{a}^{A} f(x)dx . Тогда:

  1. Если \exists \lim_{A \to +\infty}\int_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int_{a}^{+\infty} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае I=\int_{a}^{+\infty} f(x)dx называется сходящимся.
  2. Если \lim_{A \to +\infty}\int_{a}^{A} f(x)dx = \infty \ (\pm \infty или \not\exists), то обозначается \int_{a}^{+\infty} f(x)dx В этом случае интеграл называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена на (a,b] и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta). Тогда:

  1. Если \exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int_{a}^{b} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty или  \not\exists), то обозначение сохраняется, а \mathcal{I}=\int_{a}^{b} f(x)dx называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Критерий Коши Править

1. Пусть f(x) определена на множестве от [a,+\infty) и \forall A>a \Rightarrow \exists \int_{a}^{A} f(x)dx = \mathcal{I}.

Тогда \mathcal{I}=\int_{a}^{+\infty} f(x)dx сходится \Leftrightarrow \exists A(\varepsilon) > a : \forall (A_2 > A_1 > A) \Rightarrow \left|\int_{A_1}^{A_2} f(x)dx\right| < \varepsilon

2. Пусть f(x) определена на (a,b] и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}.

Тогда \mathcal{I}=\int_{a}^{b} f(x)dx сходится \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \Rightarrow \exists \delta(\varepsilon) > 0 : \forall (0 < \delta_1 < \delta_2 < \delta) \Rightarrow \left|\int_{a+\delta_1}^{a+\delta_2} f(x)dx\right| < \varepsilon

Абсолютная сходимость Править

Интеграл \int_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int_{a}^{b} f(x)dx\right)называется абсолютно сходящимся, если \int_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int_{a}^{b} |f(x)|dx\right)сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Несобственный интеграл русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики