Неравенство треугольника

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух сторон. Неравенство тругольника иногда включается как аксиома некоторой теории (например, оно включено в определение метрического пространства), в других оно появляется как теорема.

Евклидова геометрия

Файл:Triangle.png

Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Пусть дан треугольник $\Delta ABC.$ Тогда $|AC| \le |AB|+|BC|,$ причём равенство $|AC| = |AB|+|AC|$ достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка $B$ лежит строго между $A$ и $C.$

Нормированное пространство

Пусть $(X, \| \cdot \|)$ — нормированное векторное пространство, где $X$ — произвольное множество, а $\| \cdot \|$ — определённая на $X$ норма. Тогда по определению последней справедливо:

$\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|,\quad x,y\in X.$

Метрическое пространство

Пусть $(X,\varrho)$ — метрическое пространство, где $X$ — произвольное множество, а $\varrho$ — определённая на $X$ метрика. Тогда по определению последней

$\varrho(x,y) \le \varrho(x,z) + \varrho(z,y),\quad x,y,z\in X.$

Обратное неравенство треугольника

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

• $\bigl| \|x\| - \|y\| \bigr| \le \|x-y\|,\quad x,y\in X;$
• $| \varrho(x,y) - \varrho(x,z) | \le \varrho(y,z), \quad x,y,z\in X.$