Викия

Математика

Неравенство треугольника

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух сторон. Неравенство тругольника иногда включается как аксиома некоторой теории (например, оно включено в определение метрического пространства), в других оно появляется как теорема.

Евклидова геометрия Править

Файл:Triangle.png

Пусть дан треугольник \Delta ABC. Тогда |AC| \le |AB|+|BC|, причём равенство |AC| = |AB|+|AC| достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка B лежит строго между A и C.

Нормированное пространство Править

Пусть (X,\|\cdot\|)нормированное векторное пространство, где X — произвольное множество, а \|\cdot\| — определённая на X норма. Тогда по определению последней справедливо:

\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|,\quad x,y\in X.


Метрическое пространство Править

Пусть (X,\varrho)метрическое пространство, где X — произвольное множество, а \varrho — определённая на X метрика. Тогда по определению последней

\varrho(x,y) \le \varrho(x,z) + \varrho(z,y),\quad x,y,z\in X.

Обратное неравенство треугольника Править

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

  • \bigl| \|x\| - \|y\| \bigr| \le \|x-y\|,\quad x,y\in X;
  • | \varrho(x,y) - \varrho(x,z) | \le \varrho(y,z), \quad x,y,z\in X.

Викия-сеть

Случайная вики