Викия

Математика

Неравенство о средних

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Среднее степени d набора положительных вещественных чисел x_1, \ldots, x_n определяется как

A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt [d]{\frac {x_1^d + \ldots + x_n^d}{n}}

При этом по непрерывности доопределяются следующие величины

A_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to 0} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt [n]{x_1\cdot\ldots\cdot x_n}
A_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to +\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \}
A_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to -\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}

Средние степеней 1, 0, −1 и 2 имеют собственные имена:

  • A_1(x_1, \ldots, x_n) = m =\frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} называется средним арифметическим;

(иначе говоря: среднее арифметическое n чисел, является их сумма, деленная на n)

  • A_0(x_1, \ldots, x_n) = g =\sqrt [n]{x_1 \cdot \ldots \cdot x_n} называется средним геометрическим;

(иначе говоря: среднее геометрическое n чисел, является корень n-ой степени из произведения этих чисел)

  • A_{-1}(x_1, \ldots, x_n) =  h = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} называется средним гармоническим.
  • A_{2}(x_1, \ldots, x_n) = s =\sqrt{\frac{x_1^2 + \ldots + x_n^2}{n}} называется средним квадратичным.

Неравенство о средних Править

Неравенство о средних утверждает, что для d_1 > d_2

A_{d_1}(x_1, \ldots, x_n) \geq A_{d_2}(x_1, \ldots, x_n),

причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов x_1 = \ldots = x_n.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная A_d(x_1, \ldots, x_n) по d неотрицательна и обращается в ноль только при x_1 = \ldots = x_n (а далее, например, применить формулу конечных приращений).

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом Править

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

\max\{ x_1, \ldots, x_n \} \geq \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \geq \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \geq \min\{ x_1, \ldots, x_n \},

где каждое из равенств достигается только при x_1 = \ldots = x_n.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Неравенство о средних русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики