ФЭНДОМ


Нера́венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

ФормулировкиПравить

Пусть случайная величина $ X:\Omega \to \mathbb{R} $ определена на вероятностном пространстве $ (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}) $, и её математическое ожидание $ \mu $ и дисперсия $ \sigma^2 $ конечны. Тогда

$ \mathbb{P}\left(|X-\mu|\geq a\right) \leq \frac{\sigma^2}{a^2} $,

где $ a>0 $.

Если $ a = k \sigma $, где $ \sigma $ - стандартное отклонение и $ k > 0 $, то получаем

$ \mathbb{P}\left(|X-\mu|\geq k \sigma \right) \leq \frac{1}{k^2} $.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на $ 2 $ стандартных отклонения с вероятностью меньше $ 25\% $. Она отклоняется от среднего на $ 3 $ стандартных отклонения с вероятностью меньше $ 11\% $.

См. такжеПравить

Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Чебышёва русской Википедии.