Неравенство Минковского

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Нера́венство Минко́вского - это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой -ой степенью.

Содержание 1 Формулировка 2 Замечание 3 Частные случаи 3.1 Евклидово пространство 3.2 Пространство lp 3.3 Вероятностное пространство 4 См. также

[править] Формулировка

Пусть - пространство с мерой, и функции , то есть , где , и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда , и более того:

.

[править] Замечание

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве можно ввести норму:

,

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

[править] Частные случаи

[править] Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство или . -норма в этом пространстве имеет вид:

,

и тогда

.

Если и , то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

[править] Пространство l^p

Пусть - счётная мера на . Тогда множество всех последовательностей , таких что

,

называется . Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

.

[править] Вероятностное пространство

Пусть - вероятностное пространство. Тогда состоит из случайных величин с конечным -м моментом: , где символ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

.

[править] См. также

• Пространство Lp;
• Минковский, Герман.

Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Минковского русской Википедии.