ФЭНДОМ


Нера́венство Минко́вского - это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой $ p $-ой степенью.

ФормулировкаПравить

Пусть $ (X,\mathcal{F},\mu) $ - пространство с мерой, и функции $ f,g \in L^{p}(X,\mathcal{F},\mu) $, то есть $ \int_X |f|^p\, d\mu < \infty,\; \int_X |g|^p\, d\mu < \infty $, где $ p \ge 1 $, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда $ f+g \in L^p(X,\mathcal{F},\mu) $, и более того:

$ \left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \le \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} $.

ЗамечаниеПравить

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве $ L^p(X,\mathcal{F},\mu) $ можно ввести норму:

$ \|f\|_p = \left(\;\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p} $,

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаиПравить

Евклидово пространствоПравить

Рассмотрим Евклидово пространство $ E = \mathbb{R}^n $ или $ \mathbb{C}^n $. $ L^p $-норма в этом пространстве имеет вид:

$ \| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top} $,

и тогда

$ \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in E $.

Если $ n = 2,3 $ и $ p = 2 $, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство lpПравить

Пусть $ X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m $ - счётная мера на $ \mathbb{N} $. Тогда множество всех последовательностей $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $, таких что

$ \|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty $,

называется $ l^p $. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

$ \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n + y_n|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in l^p $.

Вероятностное пространствоПравить

Пусть $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ - вероятностное пространство. Тогда $ L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ состоит из случайных величин с конечным $ p $моментом: $ \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty $, где символ $ \mathbb{E} $ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

$ \left( \mathbb{E}|X+Y|^p \right)^{1/p}\le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} + \left( \mathbb{E}|Y|^p \right)^{1/p} $.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Минковского русской Википедии.