Викия

Математика

Неравенство Крамера — Рао

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В математической статистике неравенством Краме́ра — Ра́о (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая её через информацию Фишера.

Формулировка Править

Пусть дана статистическая модель (X,\,B,\,P_\theta), x = (x_1,\dots,\,x_n)выборка размера n, определена функция правдоподобия L(\theta,\,x) = L(\theta,\;x_1,\,x_2,\dots\,x_n) и выполнены следующие условия (условия регулярности):

\frac{\partial}{\partial \theta} \int\limits_X \widehat{\theta}(x)\, L(\theta,\,x)\, dx = \int\limits_X \widehat{\theta}(x)\, \frac{\partial}{\partial \theta} L(\theta,\,x)\, dx.

Пусть при этих условиях дана статистика \widehat{\theta}(x), которая оценивает дифференцируемую функцию \tau(\theta), причём смещение \mathrm{M}_\theta \widehat{\theta}(x) - \tau(\theta) равно дифференцируемой функции b(\theta). Тогда справедливы следующие утверждения:

  • \mathrm{D}_\theta \big(\widehat{\theta}(x) - \tau(\theta) - b(\theta)\big)\geqslant\frac{\big(\tau'(\theta) + b'(\theta)\big)^2}{I_n(\theta)};
  • равенство достигается тогда и только тогда, когда \widehat{\theta}(x) - \tau(\theta) - b(\theta) представляется в виде a(\theta) U(\theta,\,x).

Здесь I_n(x)информация Фишера.

Частный случай Править

Часто используется следующая, более слабая версия неравенства. Пусть выполнены условия регулярности, а \widehat{\theta}(x)несмещённая оценка параметра \theta. Тогда неравенство выглядит так:

\mathrm{D}_\theta\,\widehat{\theta}(x)\geqslant\frac{1}{I_n(\theta)}.

Этот случай получается из первого, если взять \tau(\theta) = \theta и b(\theta) = 0.

Применение Править

Оценка параметра называется эффективной, если для неё неравенство Крамера — Рао обращается в равенство. Таким образом, неравенство может быть использовано для доказательства того, что диперсия данной оценки наименьшая из возможных, то есть что данная оценка в некотором смысле лучше всех остальных.

Викия-сеть

Случайная вики