ФЭНДОМ


Нера́венство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца, хотя работы Шварца (Schwarz) на эту тему появились только спустя 25-50 лет после работ Буняковского (1859). Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

ФормулировкаПравить

Пусть дано линейное пространство $ L $ со скалярным произведением $ \langle \cdot, \cdot \rangle $. Пусть $ \|\cdot\| $ - норма, порождённая скалярным произведением, то есть $ \|x\| \equiv \sqrt{\langle x, x \rangle},\; \forall x \in L $. Тогда для любых $ x,y\in L $ имеем

$ |\langle x, y\rangle| \le \|x\| \cdot \|y\| $.

ПримерыПравить

$ \left| \sum\limits_{k=1}^{\infty} x_k \bar{y}_k \right| ^2 \le \left( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^{\infty} |y_k|^2 \right) $,
где $ \bar{y}_k $ обозначает комплексное сопряжение $ y_k $.
$ \left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leq \left(\int\limits_X \left|f(x)\right|^2\,\mu(dx)\right) \cdot \left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right) $.
$ \mathrm{cov}^2(X,Y) \le \mathrm{D}[X] \cdot \mathrm{D}[Y] $,
где $ \mathrm{cov} $ обозначает ковариацию, а $ \mathrm{D} $ дисперсию.

Литература Править

  • Bounjakowsky W., «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.

Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Коши — Буняковского русской Википедии.