Викия

Математика

Неравенство Коши — Буняковского

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Нера́венство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца, хотя работы Шварца (Schwarz) на эту тему появились только спустя 25-50 лет после работ Буняковского (1859). Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

ФормулировкаПравить

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением \langle \cdot, \cdot \rangle. Пусть \|\cdot\| - норма, порождённая скалярным произведением, то есть \|x\| \equiv \sqrt{\langle x, x \rangle},\; \forall x \in L. Тогда для любых x,y\in L имеем

|\langle x, y\rangle| \le \|x\| \cdot \|y\|.

ПримерыПравить

 \left| \sum\limits_{k=1}^{\infty} x_k \bar{y}_k \right| ^2 \le  \left( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^{\infty} |y_k|^2 \right),
где \bar{y}_k обозначает комплексное сопряжение y_k.
\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leq \left(\int\limits_X \left|f(x)\right|^2\,\mu(dx)\right) \cdot \left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right).
\mathrm{cov}^2(X,Y) \le \mathrm{D}[X] \cdot \mathrm{D}[Y],
где \mathrm{cov} обозначает ковариацию, а \mathrm{D} дисперсию.

Литература Править

  • Bounjakowsky W., «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.

Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Коши — Буняковского русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики