Неравенство Коши — Буняковского

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Нера́венство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца, хотя работы Шварца (Schwarz) на эту тему появились только спустя 25-50 лет после работ Буняковского (1859). Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

[править] Формулировка

Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть - норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем

.

[править] Примеры

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей неравенство Коши - Буняковского имеет вид:

,

где обозначает комплексное сопряжение .

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций неравенство Коши - Буняковского имеет вид:

.

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом неравенство Коши - Буняковского имеет вид:

,

где обозначает ковариацию, а дисперсию.

[править] Литература

• Bounjakowsky W., «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.

Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Коши — Буняковского русской Википедии.