Викия

Математика

Неравенство Йенсена

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Нера́венство Йе́нсенанеравенство для выпуклой функции среднего случайной величины.

ФормулировкаПравить

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) - вероятностное пространство, и X:\Omega \to \mathbb{R} - определённая на нём случайная величина. Пусть также \phi:\mathbb{R} \to \mathbb{R} - выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если X, \phi(X) \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), то

\phi(\mathbb{E}[X]) \le \mathbb{E}[\phi(X)],

где \mathbb{E}[\cdot] означает математическое ожидание.

ЗамечаниеПравить

  • Если функция \phi вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.

Конечномерный вариантПравить

Предположим, что X имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности

\mathbb{P}(X = x_i) = \alpha_i \ge0,\;  i= 1,\ldots, n;\; \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i = 1.

Тогда неравенство Йенсена принимает вид:

\phi \left( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \phi (x_i).

СледствияПравить

Неравенство Йенсена для условного математического ожиданияПравить

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, \mathcal{G}\subset \mathcal{F} - под-σ-алгебра событий. Тогда

\phi(\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]) \le \mathbb{E}[\phi(X) \mid \mathcal{G}],

где \mathbb{E}[\cdot \mid \mathcal{G}] обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры \mathcal{G}.


Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Йенсена русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики