Неравенство Йенсена

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Нера́венство Йе́нсена — неравенство для выпуклой функции среднего случайной величины.

Содержание 1 Формулировка 2 Замечание 3 Конечномерный вариант 4 Следствия 5 Неравенство Йенсена для условного математического ожидания

[править] Формулировка

Пусть - вероятностное пространство, и - определённая на нём случайная величина. Пусть также - выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если , то

,

где означает математическое ожидание.

[править] Замечание

• Если функция вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.

[править] Конечномерный вариант

Предположим, что имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности

Тогда неравенство Йенсена принимает вид:

.

[править] Следствия

• Неравенство Гиббса в теории информации;
• Теорема Рао — Блекуэлла — Колмогорова в математической статистике.

[править] Неравенство Йенсена для условного математического ожидания

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, - под-σ-алгебра событий. Тогда

,

где обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры .

Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Йенсена русской Википедии.