Викия

Математика

Неравенство Гёльдера

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Нера́венство Гё́льдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах - это фундаментальное свойство пространств L^p.

Формулировка Править

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) - пространство с мерой, а L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) - пространство функций вида f:X \to \mathbb{R} с конечной интегрируемой p-ой степенью. Тогда в последнем определена норма

\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}.

Пусть f \in L^p, а g \in L^q, где p,q \ge 1,\; 1/p + 1/q = 1. Тогда f \cdot g \in L^1, и

\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q.

Частные случаиПравить

Неравенство Коши — БуняковскогоПравить

Положив p = q = 2, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства L^2.

Евклидово пространствоПравить

Рассмотрим Евклидово пространство E = \mathbb{R}^n или \mathbb{C}^n. L^p-норма в этом пространстве имеет вид:

\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top},

и тогда

 \sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q},\; \forall x,y \in E.

Пространство lpПравить

Пусть X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m - счётная мера на \mathbb{N}. Тогда множество всех последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что

\|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty,

называется l^p. Неравенство Гёльдера для это пространства имеет вид:

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q.

Вероятностное пространствоПравить

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) - вероятностное пространство. Тогда L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) состоит из случайных величин с конечным pмоментом: \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, где символ \mathbb{E} обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

 \mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q.

См. такжеПравить


Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Гёльдера русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики