ФЭНДОМ


Нера́венство Гё́льдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах - это фундаментальное свойство пространств $ L^p $.

Формулировка Править

Пусть $ (X,\mathcal{F},\mu) $ - пространство с мерой, а $ L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) $ - пространство функций вида $ f:X \to \mathbb{R} $ с конечной интегрируемой $ p $-ой степенью. Тогда в последнем определена норма

$ \|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p} $.

Пусть $ f \in L^p $, а $ g \in L^q $, где $ p,q \ge 1,\; 1/p + 1/q = 1 $. Тогда $ f \cdot g \in L^1 $, и

$ \|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q $.

Частные случаиПравить

Неравенство Коши — БуняковскогоПравить

Положив $ p = q = 2 $, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства $ L^2 $.

Евклидово пространствоПравить

Рассмотрим Евклидово пространство $ E = \mathbb{R}^n $ или $ \mathbb{C}^n $. $ L^p $-норма в этом пространстве имеет вид:

$ \| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top} $,

и тогда

$ \sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q},\; \forall x,y \in E $.

Пространство lpПравить

Пусть $ X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m $ - счётная мера на $ \mathbb{N} $. Тогда множество всех последовательностей $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $, таких что

$ \|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty $,

называется $ l^p $. Неравенство Гёльдера для это пространства имеет вид:

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q $.

Вероятностное пространствоПравить

Пусть $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ - вероятностное пространство. Тогда $ L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ состоит из случайных величин с конечным $ p $моментом: $ \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty $, где символ $ \mathbb{E} $ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

$ \mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q $.

См. такжеПравить


Эта статья содержит материал из статьи Неравенство Гёльдера русской Википедии.