Викия

Математика

Неравенство Виртингера

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

История Править

Исторически неравенством Виртингера называли неравенство в следующей теореме:

Пусть функция f : RR является непрерывно дифференцируемой и 2π-периодической, и пусть

\int_0^{2\pi}f(x)=0.

Тогда

 \int_0^{2\pi}f^2(x)dx  \le \int_0^{2\pi}f'^2(x)dx

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

f(x) = a sin(x) + b cos(x), при каких-то a и b

или, что то же самое,

f(x) = c sin (x+d) при каких-то c и d.

Это неравенство было использовано при доказательстве теоремы о фигуре наибольшей площади при фиксированном периметре.

Современное состояние проблемыПравить

Легко увидеть, что неравенство Виртингера связывает нормы в пространстве L^2 производной и самой функции:

{\|f\|}^2_{L^2} \le {\|f'\|}^2_{L^2}

Ясно, что можно пробовать отыскать аналогичное неравенство при различных (и даже разных) нормах в правой и левой частях неравенства. Эта задача интенсивно исследовалась многими математиками, достаточно сказать, что в одной обзорной статье по неравенству Виртингера была приведено более 200 ссылок на работы различных авторов. Во многих случаях найдены как точные константы, которые надо поставить перед нормой производной, так и экстремальные функции, на которых неравенство обращается в равенство.

Викия-сеть

Случайная вики