Неприводимый многочлен

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. В кольце многочленов неприводимые многочлены играют роль сходную с простыми числами в кольце целых чисел.

Общее определение

Неприводимый многочлен над полем $k$ ― многочлен $p(x_1,x_2,..,x_n)$ от $n$ переменных над полем $k$, являющийся простым элементом кольца $k[x_1,x_2,..,x_n]$, то есть непредставимый в виде произведения $p=qr$, где $q$ и $r$ ― многочлены с коэффициентами из $k$, отличные от константы. Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени, например любой многочлен вида

$p(x_1,x_2,..,x_{n-1})+x_n$

абсолютно неприводим.

Свойства

• Кольцо многочленов $k[x_1,x_2,..,x_n]$ факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.
• Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.
• Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен $x^n+px+p$, где $n>1$ и $p$ ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
• Если $k = F_q$ — конечное поле из $q$ элементов, а $n$ - натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из $k[x]$.
• Предположим $A$ ― целозамкнутое кольцо с полем частных $k$ (например $A=\mathbb{Z}$ и $k=\mathbb{Q}$) и $p \in A[x]$ ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда $p=qr$ в $k[x]$, причем $q$ и $r$ имеют старший коэффициент 1, то $q,r\in A[x]$.
• Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности $\sigma:A\to B$. Если степень многочлена $\sigma(p)$ совпадает со степенью многочлена $p$ и $\sigma(p)$ неприводим над полем частных области $B$, то не существует разложения $p=qr$, где $p, r\in A[x]$ и отличны от константы.
  • Например, многочлен $p$ со старшим коэффициентом $1$ прост в $\mathbb Z[x]$ (и, следовательно, неприводим в $\mathbb{Q}[x]$), если прост многочлен $\sigma(p)$, полученный из $p$ редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

Литература

• Вандер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976;
• Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
• Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1―2, М., 1963.

he:פולינום אי פריק pl:Wielomian nierozkładalny