Викия

Математика

Неприводимый многочлен

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Неприводимый многочленмногочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. В кольце многочленов неприводимые многочлены играют роль сходную с простыми числами в кольце целых чисел.

Общее определениеПравить

Неприводимый многочлен над полем kмногочлен p(x_1,x_2,..,x_n) от n переменных над полем k, являющийся простым элементом кольца k[x_1,x_2,..,x_n], то есть непредставимый в виде произведения p=qr, где q и r ― многочлены с коэффициентами из k, отличные от константы. Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени, например любой многочлен вида

p(x_1,x_2,..,x_{n-1})+x_n

абсолютно неприводим.

СвойстваПравить

  • Кольцо многочленов k[x_1,x_2,..,x_n] факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.
  • Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.
  • Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен x^n+px+p, где n>1 и p ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
  • Если k = F_qконечное поле из q элементов, а n - натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из k[x].
  • Предположим Aцелозамкнутое кольцо с полем частных k (например A=\Z и k=\mathbb Q) и p\in A[x] ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда p=qr в k[x], причем q и r имеют старший коэффициент 1, то q,r\in A[x].
  • Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности \sigma:A\to B. Если степень многочлена \sigma(p) совпадает со степенью многочлена p и \sigma(p) неприводим над полем частных области B, то не существует разложения p=qr, где p, r\in A[x] и отличны от константы.
    • Например, многочлен p со старшим коэффициентом 1 прост в \Z[x] (и, следовательно, неприводим в \mathbb Q[x]), если прост многочлен \sigma(p), полученный из p редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

ЛитератураПравить

  • Вандер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976;
  • Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
  • Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1―2, М., 1963.he:פולינום אי פריקpl:Wielomian nierozkładalny

Викия-сеть

Случайная вики