Викия

Математика

Непрерывное равномерное распределение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Непрерывное равномерное распределение
Плотность вероятности
Плотность непрерывного равномерного распределения
Функция распределения
Функция распределения непрерывного равномерного распределения
Параметры a,b \in (-\infty,\infty), a - коэффициент сдвига, b-a - коэффициент масштаба
Носитель a \le x \le b
Плотность вероятности 
    \begin{matrix}
    \frac{1}{b - a} & a \le x \le b \\  \\
    0 & \ x<a\ ,\ x>b
    \end{matrix}
Функция распределения 
    \begin{matrix}
    0 & x < a \\
    \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ a \le x < b \\
    1 & x \ge b
    \end{matrix}
Математическое ожидание \frac{a+b}{2}
Медиана \frac{a+b}{2}
Мода любое число из отрезка [a,b]
Дисперсия \frac{(b-a)^2}{12}
Коэффициент асимметрии 0
Коэффициент эксцесса -\frac{6}{5}
Информационная энтропия \ln(b-a)
Производящая функция моментов \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}
Характеристическая функция \frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}

Непреры́вное равноме́рное распределе́ние - в теории вероятностей распределение, характеризующееся тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины.

ОпределениеПравить

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке [a,b], где a,b\in \mathbb{R}, если её плотность f_X(x) имеет вид:


f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
{1 \over b-a}, & x\in [a,b] \\
0, & x\not\in [a,b]
\end{matrix}
\right..

Пишут: X \sim U[a,b]. Иногда значения плотности в граничных точках x=a и x=b меняют на другие, например 0 или {1 / 2(b-a)}. Так как интеграл Лебега от плотности не зависит от поведения последней на множествах меры нуль, эти вариации не влияют на вычисления связанных с этим распределением вероятностей.

Функция распределенияПравить

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:


F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \le x) = \left\{
\begin{matrix}
0, & x < a \\
{x-a \over b-a}, & a \leq x < b \\
1, & x \ge b
\end{matrix}
\right..

Так как плотность равномерного распределения разрывна в граничных точках отрезка [a,b], то функция распределения в этих точках не является дифференцируемой. В остальных точках справедливо стандартное равенство:

\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{a,b\}.

Производящая функция моментовПравить

Простым интегрированием получаем:

M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)},

откуда находим все интересующие моменты непрерывного равномерного распределения:

\mathbb{E}\left[X\right] = \frac{a+b}{2},
\mathbb{E}\left[X^2\right] = \frac{a^2+ab+b^2}{3},
\operatorname{D} X = \frac{(b-a)^2}{12}.

Вообще,

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=1}^n{a^k b^{n-k}}.

Стандартное равномерное распределениеПравить

Если a = 0, а b=1, то есть X \sim U[0,1], то такое непрерывное равномерное распределение называют стандартным. Имеет место элементарное утверждение:

Если случайная величина X \sim U[0,1], и Y = a+(b-a)X, где a < b, то Y \sim U[a,b].

Таким образом, имея генератор случайной выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, легко построить генератор выборки любого непрерывного равномерного распределения.

Более того, имея такой генератор и зная функцию обратную к функции распределения случайной величины, можно построить генератор выборки любого непрерывного распределения (не обязательно равномерного) с помощью метода обратного преобразования. Поэтому, стандартно равномерно распределённые случайные величины иногда называют базовыми случайными величинами.

См. такжеПравить

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править
bn:সম-বিন্যাস (অবিচ্ছিন্ন)

da:Ligefordelingeo:Kontinua uniforma distribuohe:התפלגות אחידהnl:Uniforme verdeling (continu) no:Uniform sannsynlighetsmodell pl:Rozkład jednostajnysu:Sebaran seragam#Kasus_kontinyu sv:Likformig sannolikhetsfördelning

Викия-сеть

Случайная вики