Викия

Математика

Непрерывное отображение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Непреры́вное отображе́ние (фу́нкция) в математическом анализе и смежных дисциплинах — это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения функции.

Непрерывная числовая функция Править

Continuidad de funciones 04.svg
  • Пусть дана функция f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, и a\in M. Тогда говорят, что f непрерывна в точке a и пишут f \in C(a), если \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0\; \forall x\in M
    (|x-a| < \delta) \Rightarrow (|f(x)-f(a)| < \varepsilon).
  • Пусть дано подмножество N\subset M. Тогда говорят, что f непрерывна на N и пишут f\in C(N), если
    \forall a \in N\quad f\in C(a).

Замечания Править

\left(a \in M\setminus M'\right) \Rightarrow \bigl(f\in C(a)\bigr).
\bigl( a\in M \cap M' \bigr) \Rightarrow \bigl( f\in C(a) \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)\bigr).

Базовые свойства Править

  • Функция сохраняет знак в окрестности точки непрерывности. Пусть f\in C(a),\; f(a) > 0. Тогда существует окрестность U(a) такая, что
\forall x \in U(a)\cap M\quad f(x) > 0.
  • Сумма непрерывных функций также является непрерывной. Пусть f,g \in C(a). Тогда
    f+g \in C(a).
  • Непрерывная функция умноженная на константу также является непрерывной. Пусть f,g \in C(a), и \alpha\in \mathbb{R} — произвольная константа. Тогда
     \alpha f \in C(a).
  • Произведение непрерывных функций также является непрерывным. Пусть f,g \in C(a). Тогда
    f\cdot g \in C(a).
  • Дробь непрерывных функций также является непрерывной. Пусть f,g \in C(a), и g(a) \neq 0. Тогда существует окрестность U(a), в которой функция \frac{f}{g} определена, и
    \frac{f}{g} \in C(a).
  • Композиция двух непрерывных функций так же является непрерывной. Пусть f\in C(a),\; b = f(a),\; g \in C(b). Тогда
    g \circ f \in C(a).

Дополнительные свойства Править

Разрывные функции Править

Если функция не является непрерывной в точке a, то говорят, что она в ней разры́вна и пишут f \not\in C(a). Согласно замечанию выше функция может быть разрывной только в предельной точке области определения, и справедливо одно из двух:

  1. Либо предел \lim\limits_{x\to a} f(x) не существует;
  2. Либо он существует, но \lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a).

Устранимый разрыв Править

Пусть существует \lim\limits_{x\to a} f(x), но a \not\in M или \lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a). Тогда a называется то́чкой устрани́мого разры́ва. Положив f(a) = \lim\limits_{x\to a} f(x), можно добиться непрерывности функции в этой точке.

Разрыв первого рода Править

Continuidad de funciones 07.svg

Пусть не сущестует двусторонний предел \lim\limits_{x\to a} f(x), но существуют конечные (и различные) односторонние пределы \lim\limits_{x\to a-} f(x) и \lim\limits_{x\to a+} f(x). Тогда f\not\in C(a), и a называется то́чкой разры́ва пе́рвого ро́да.

Разрыв второго рода Править

Если f\not\in C(a), и a не является точкой устранимого разрыва или разрыва первого рода, то есть если хотя бы один односторонний предел не существует или бесконечен, то она называется то́чкой разры́ва второ́го ро́да.

Примеры Править

f(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\
1, & x = 0
\end{matrix}
\right.

непрерывна в любой точке x \neq 0. Точка x=0 является точкой устранимого разрыва, ибо

\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 0 \neq 1 = f(1).
  • Функция знака
f(x) = \operatorname{sgn} x = \left\{
\begin{matrix}
-1, & x < 0 \\
0, & x = 0 \\
1, & x > 0
\end{matrix}
\right.,\; x\in \mathbb{R}

непрерывна в любом x \neq 0. Точка x=0 является точкой разрыва первого рода, ибо

\lim\limits_{x \to 0-}f(x) = -1 \neq 1 = \lim\limits_{x \to 0+} f(x).
  • Функция
f(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{matrix}
\right.

непрерывна в любом x \neq 0. Точка x=0 является точкой разрыва второго рода, ибо, например,

\lim\limits_{x \to 0-}f(x) = - \infty.

Односторонне непрерывная числовая функция Править

  • Пусть дана функция f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, и a\in M. Тогда говорят, что f непреры́вна спра́ва в точке a, если \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0\; \forall x\in M
    (|x-a| < \delta \wedge x\ge a) \Rightarrow (|f(x)-f(a)| < \varepsilon).
  • Говорят, что f непреры́вна сле́ва в точке a, если \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0\; \forall x\in M
    (|x-a| < \delta \wedge x\le a) \Rightarrow (|f(x)-f(a)| < \varepsilon).

Замечания Править

  • Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна одновременно справа и слева.
  • Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда cуществует правосторонний предел
\lim\limits_{x \to a+}f(x) = f(a).
  • Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда cуществует левосторонний предел
\lim\limits_{x \to a-}f(x) = f(a).
  • Все базовые свойства непрерывных функций переносятся на односторонне непрерывные функции.

Примеры Править

  • Функция
f(x) = \left\{
\begin{matrix}
1,& x \ge 0\\
0, & x < 0
\end{matrix}
\right.,\quad x\in \mathbb{R}

непрерывна справа (но не слева) в точке x=0. Во всех других точках она непрерывна.

Обобщения Править

Непрерывное отображение из Rm в Rn Править

Обобщая одномерный случай, функция f:M \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n называется непрерывной в точке a \in M, если \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in M

\bigl(\|x-a\|_m < \delta\bigr) \Rightarrow \bigl(\|f(x) - f(a)\|_n < \varepsilon\bigr),

где

\|x\|_k \equiv \sqrt{\sum\limits_{i=1}^k x_i^2},\quad x = (x_1,\ldots,x_k)^{\top} \in \mathbb{R}^k — евклидова норма в \mathbb{R}^k.

Непрерывное отображение метрических пространств Править

В предыдущем определении наличие операции вычитания, точнее линейной структуры, в евклидовых пространствах не играет принципиальной роли. Достаточно лишь иметь возможность измерять расстояния. Множества, на которых указан способ измерять расстояния называются метрическими пространствами. Отображение f:X \to Y метрического пространства (X,\varrho_X) в метрическое пространство (Y,\varrho_Y) называется непрерывным в точке a, если \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \;
\forall x \in X

\Big(\varrho_X(x,a) < \delta\Big) \Rightarrow \Big( \varrho_Y \bigl(f(x), f(a)\bigr)< \varepsilon \Big).

Непрерывное отображение топологических пространств Править

В предыдущих определениях важно не наличие точной меры расстояния, а лишь понятия близости. Непрерывное отображение переводит близкие точки в близкие. Множество, в котором указан некоторый набор подмножеств \mathcal{T}, позволяющий говорить о близких точках, называется топологическим пространством. Отображение f: X \to Y топологического пространства (X,\mathcal{T}_X) в топологическое пространство (Y,\mathcal{T}_Y) называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт:

\forall V \in \mathcal{T}_Y \quad f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X.

Cм. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Непрерывное отображение русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики