Непрерывное отображение
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Непреры́вное отображе́ние (фу́нкция) в математическом анализе и смежных дисциплинах — это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения функции.
Содержание |
[править] Непрерывная числовая функция
- Пусть дана функция
и 
Тогда говорят, что 
непрерывна в точке 
и пишут 
если 
-
- Пусть дано подмножество
Тогда говорят, что непрерывна на 
и пишут 
если
-
[править] Замечания
- Функция всегда непрерывна в изолированой точке области определения, то есть
- В предельной точке области определения непрерывность функция эквивалентна существованию предела:
[править] Базовые свойства
- Функция сохраняет знак в окрестности точки непрерывности. Пусть
Тогда существует окрестность 
такая, что
- Сумма непрерывных функций также является непрерывной. Пусть
. Тогда
-
- Непрерывная функция умноженная на константу также является непрерывной. Пусть
и 
— произвольная константа. Тогда
-
- Произведение непрерывных функций также является непрерывным. Пусть . Тогда
-
- Дробь непрерывных функций также является непрерывной. Пусть и
Тогда существует окрестность 
в которой функция 
определена, и
-
- Композиция двух непрерывных функций так же является непрерывной. Пусть
Тогда
-
[править] Дополнительные свойства
- Дифференцируемая функция всегда непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, функция Ван-дер-Вардена непрерывна, но не дифференцируема на всей прямой.
- Теорема Больцано — Коши;
- Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте.
[править] Разрывные функции
Если функция не является непрерывной в точке 
то говорят, что она в ней разры́вна и пишут 
Согласно замечанию выше функция может быть разрывной только в предельной точке области определения, и справедливо одно из двух:
- Либо предел
не существует;
- Либо он существует, но
[править] Устранимый разрыв
Пусть существует 
но 
или Тогда называется то́чкой устрани́мого разры́ва. Положив 
можно добиться непрерывности функции в этой точке.
[править] Разрыв первого рода
Пусть не сущестует двусторонний предел но существуют конечные (и различные) односторонние пределы 
и 
Тогда 
и называется то́чкой разры́ва пе́рвого ро́да.
[править] Разрыв второго рода
Если и не является точкой устранимого разрыва или разрыва первого рода, то есть если хотя бы один односторонний предел не существует или бесконечен, то она называется то́чкой разры́ва второ́го ро́да.
[править] Примеры
- Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические прямые и обратные функции непрерывны везде в своей области определения.
- Функция
задаваемая формулой
непрерывна в любой точке 
Точка 
является точкой устранимого разрыва, ибо
- Функция знака
непрерывна в любом Точка является точкой разрыва первого рода, ибо
- Функция
непрерывна в любом Точка является точкой разрыва второго рода, ибо, например,
[править] Односторонне непрерывная числовая функция
- Пусть дана функция и Тогда говорят, что непреры́вна спра́ва в точке если
-
- Говорят, что непреры́вна сле́ва в точке если
-
[править] Замечания
- Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна одновременно справа и слева.
- Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда cуществует правосторонний предел
- Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда cуществует левосторонний предел
- Все базовые свойства непрерывных функций переносятся на односторонне непрерывные функции.
[править] Примеры
- Функция
непрерывна справа (но не слева) в точке 
Во всех других точках она непрерывна.
- Кумулятивная функция распределения дискретной случайной величины в теории вероятностей непрерывна справа в любой точке.
[править] Обобщения
[править] Непрерывное отображение из Rm в Rn
Обобщая одномерный случай, функция 
называется непрерывной в точке 
если 
где
-
— евклидова норма в 
[править] Непрерывное отображение метрических пространств
В предыдущем определении наличие операции вычитания, точнее линейной структуры, в евклидовых пространствах не играет принципиальной роли. Достаточно лишь иметь возможность измерять расстояния. Множества, на которых указан способ измерять расстояния называются метрическими пространствами. Отображение 
метрического пространства 
в метрическое пространство 
называется непрерывным в точке , если 
[править] Непрерывное отображение топологических пространств
В предыдущих определениях важно не наличие точной меры расстояния, а лишь понятия близости. Непрерывное отображение переводит близкие точки в близкие. Множество, в котором указан некоторый набор подмножеств 
, позволяющий говорить о близких точках, называется топологическим пространством. Отображение 
топологического пространства 
в топологическое пространство 
называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт:
[править] Cм. также
Эта статья содержит материал из статьи Непрерывное отображение русской Википедии.
