Викия

Математика

Непрерывная дробь

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вид

[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;

где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (т.е. положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

Разложение в цепную дробьПравить

Любое ненулевое вещественное число x может быть представлено цепной дробью [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots], где

a_0 = \lfloor x \rfloor, x_0 = x - a_0,
a_1 = \left\lfloor \frac{1}{x_0} \right\rfloor, x_1 = \frac{1}{x_0} - a_1,
\dots
a_n = \left\lfloor \frac{1}{x_{n-1}} \right\rfloor, x_n = \frac{1}{x_{n-1}} - a_n,
\dots

где \lfloor x \rfloor обозначает целую часть числа x.

Для рационального числа x это разложение оборвётся по достижению нулевого x_n для некоторого n. В этом случае x представляется конечной цепной дробью x = [a_0; a_1, \cdots, a_n].

Для иррационального x все величины x_n будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x представляется бесконечной цепной дробью x = [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots].

Подходящие дробиПравить

n-ой подходящей дробью для цепной дроби x=[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots], называется конечная цепная дробь [a_0; a_1, \cdots, a_n], значение которой равно некоторому рациональному числу \frac{p_n}{q_n}. Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x.

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2};
q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}.

Таким образом, величины p_n и q_n представляются значениями континуант:

p_n = K_{n+1}(a_0, a_1, \cdots, a_n)
q_n = K_n(a_1, a_2, \cdots, a_n)

Последовательности \left\{p_n\right\} и \left\{q_n\right\} являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением

p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n-1},

которое можно переписать в виде

\frac{p_n}{q_n} - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} = \frac{(-1)^{n-1}}{q_{n-1} q_n}.

Откуда следует, что

\left|x - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\right| < \frac{1}{q_{n-1}q_n} < \frac{1}{q_{n-1}^2}.

Приближение вещественных чисел рациональнымиПравить

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число x разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

\left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n^2}.

Отсюда, в частности, следует, что мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

Свойства и примерыПравить

  • Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:
 9/4=[2; 3, 1] = [2; 4]\;
  • Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Например:
\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, \dots]
золотое сечение \phi = [1;1,1,1,\dots]
  • Для некоторых чисел можно найти более сложную закономерность. Например, для основания натурального логарифма:
e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ..., 1, 1, 2(n-1), 1, 1, 2n,...]
  • Для числа пи подобной закономерности не выявлено:
\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15,...]

Приложения цепных дробейПравить

СсылкиПравить

da:Kædebrøknl:Kettingbreuk pl:Ułamek łańcuchowy pms:Frassion continuàsl:Verižni ulomek sv:Kedjebråk ta:தொடரும் பின்னம் th:เศษส่วนต่อเนื่อง vi:Phân số liên tục

Викия-сеть

Случайная вики