Викия

Математика

Неопределённый интеграл

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Неопределённый интегра́л для функции f(x)\, — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция f(x)\, определена и непрерывна на промежутке (a,b)\, и F(x)\, — её первообразная, то есть F'(x) = f(x)\, при a<x<b\,, то

\int f(x) dx = F(x) + C, \,  a<x<b\,,

где С — произвольная постоянная.


d\left (\int f(x)dx \right ) = f(x) dx
\int d(F(x)) = F(x)+C
\int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x)dx
\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx
Если \int f(x) dx = F(x) + C, то и \int f(u) du = F(u)+C, где u = \varphi (x) — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Подведение под знак дифференциала Править

При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:

du=d(u+C)\,
du = {1 \over a} d(au)
f'(u) \cdot du = d(f(u))

Основные методы интегрирования Править

См. также основную статью: Методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

\int g(x) dx = G(x) + C, \,

то

\int g(u) du = G(u) + C, \,

где u = \varphi (x) \, — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

g(x)= g_1(x) + g_2(x), \,

то

\int g(x) dx = \int g_1(x) dx + \int g_2(x)dx. \,

3. Метод подстановки. Если g(x)\, — непрерывна, то, полагая

x = \varphi (t), \,

где \varphi (t) \, непрерывна вместе со своей производной \varphi' (t) \,, получим

\int g(x) dx = \int g(\varphi (t))\varphi' (t) dt. \,

4. Метод интегрирования по частям. Если u\, и v\, — некоторые дифференцируемые функции от x\,, то

\int u dv = uv - \int v du. \,

Таблица основных неопределённых интегралов Править

\int 0 \cdot dx = C ; \,
\int 1 \cdot dx = x + C ; \,
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C  \,  (n \ne -1); \,
\int \frac{1}{x} dx = \ln \mid x \mid + C ; \,
\int e^x dx = e^x + C ; \,
\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \,  (a>0, a \ne 1); \,
\int \cos x \, dx = \sin x + C ; \,
\int \sin x \, dx = - \cos x + C ; \,
\int \frac {dx}{\cos^2 x} = \mathrm{tg}\, x + C ; \,
\int \frac {dx}{\sin^2 x} = - \mathrm{ctg}\, x + C ; \,
\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = - \arccos x + C' (C' = \frac {\pi}{2} + C); \,
\int \frac {dx}{1+x^2} = \mathrm{arctg}\, x + C; \,
\int \mathrm{ch}\, x dx = \mathrm{sh}\, x + C; \,
\int \mathrm{sh}\, x dx = \mathrm{ch}\, x + C; \,

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа C \, такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

Викия-сеть

Случайная вики