Викия

Математика

Натуральное число

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение3 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.


Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при :

  • перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
  • обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета… ) общепринято в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком \mathbb{N}.

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдётся другое натуральное число, большее его..

См. также основную статью: Аксиомы Пеано

Введём функцию S, которая сопоставляет числу x следующее за ним число.

  1. 1\in\mathbb{N} (1 является натуральным числом);
  2. Если x\in\mathbb{N}, то S(x)\in\mathbb{N} (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. \nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1) (1 не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если S(b)=a и S(c)=a, тогда b=c (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b=c);
  5. Аксиома индукции. Пусть P(n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа n. Тогда:
если P(1) и \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n))), то \forall n\;P(n)
(Если некоторое высказывание P верно для n=1 (база индукции) и для любого n при допущении, что верно P(n), верно и P(n+1) (индукционное предположение), то P(n) верно для любых натуральных n).

Замечание Править

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах заменяют 1 на 0. В этом случае ноль считается натуральным числом.

Теоретико-множественное определение Править

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  • 0=\varnothing
  • S(n)=n\cup\left\{n\right\}

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

  • Вычитание. Уменьшаемое - Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
  • Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*b+r, причём 0\leqslant r<p. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе a можно представить в виде a=p*0+a, т.е. можно было бы считать частным 0, а остатком = a.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства Править

  1. Коммутативность сложения. \,\! a + b = b + a
  2. Коммутативность умножения. \,\! ab = ba
  3. Ассоциативность сложения. \,\! (a + b) + c = a + (b + c)
  4. Ассоциативность умножения. \,\! (ab)c = a(bc)
  5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. \,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}

Натуральные числа в русском языке Править

  • Числа от 1 до 10 — один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).
  • Числа от 11 до 20 — одиннадцать (11), двенадцать (12), тринадцать (13), четырнадцать (14), пятнадцать (15), шестнадцать (16), семнадцать (17), восемнадцать (18), девятнадцать (19), двадцать (20).
  • Числа от 30 до 90 — тридцать (30), сорок (40), пятьдесят (50), шестьдесят (60), семьдесят (70), восемьдесят (80), девяносто (90).
  • Числа от 100 до 900 — сто (100), двести (200), триста (300), четыреста (400), пятьсот (500), шестьсот (600), семьсот (700), восемьсот (800), девятьсот (900).

См. также Править

Ссылки Править


Шаблон:Категория только в статьях


Эта статья содержит материал из статьи Натуральное число русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики