Викия

Математика

Натуральное число

1454статьи
на этой вики
Обсуждение3


Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при :

  • перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
  • обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета… ) общепринято в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком \mathbb{N}.

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдётся другое натуральное число, большее его..

См. также основную статью: Аксиомы Пеано

Введём функцию S, которая сопоставляет числу x следующее за ним число.

  1. 1\in\mathbb{N} (1 является натуральным числом);
  2. Если x\in\mathbb{N}, то S(x)\in\mathbb{N} (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. \nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1) (1 не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если S(b)=a и S(c)=a, тогда b=c (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b=c);
  5. Аксиома индукции. Пусть P(n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа n. Тогда:
если P(1) и \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n))), то \forall n\;P(n)
(Если некоторое высказывание P верно для n=1 (база индукции) и для любого n при допущении, что верно P(n), верно и P(n+1) (индукционное предположение), то P(n) верно для любых натуральных n).

Замечание Править

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах заменяют 1 на 0. В этом случае ноль считается натуральным числом.

Теоретико-множественное определение Править

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  • 0=\varnothing
  • S(n)=n\cup\left\{n\right\}

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

  • Вычитание. Уменьшаемое - Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
  • Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*b+r, причём 0\leqslant r<p. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе a можно представить в виде a=p*0+a, т.е. можно было бы считать частным 0, а остатком = a.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства Править

  1. Коммутативность сложения. \,\! a + b = b + a
  2. Коммутативность умножения. \,\! ab = ba
  3. Ассоциативность сложения. \,\! (a + b) + c = a + (b + c)
  4. Ассоциативность умножения. \,\! (ab)c = a(bc)
  5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. \,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}

Натуральные числа в русском языке Править

  • Числа от 1 до 10 — один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).
  • Числа от 11 до 20 — одиннадцать (11), двенадцать (12), тринадцать (13), четырнадцать (14), пятнадцать (15), шестнадцать (16), семнадцать (17), восемнадцать (18), девятнадцать (19), двадцать (20).
  • Числа от 30 до 90 — тридцать (30), сорок (40), пятьдесят (50), шестьдесят (60), семьдесят (70), восемьдесят (80), девяносто (90).
  • Числа от 100 до 900 — сто (100), двести (200), триста (300), четыреста (400), пятьсот (500), шестьсот (600), семьсот (700), восемьсот (800), девятьсот (900).

См. также Править

Ссылки Править


Шаблон:Категория только в статьях


Эта статья содержит материал из статьи Натуральное число русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики