Викия

Математика

Наименьшее общее кратное

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Наиме́ньшее о́бщее кра́тное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка. Обозначается одним из следующих способов:

  • НОК(mn);
  • [mn];
  • lcm(mn)    (от англ. Least Common Multiple).

Пример: НОК(16, 20) = 80.

Наименьшее общее кратное для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Одно из наиболее частых применений НОК — приведение дробей к общему знаменателю.

СвойстваПравить

Нахождение НОКПравить

НОК(a, b) можно вычислить несколькими способами.

1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с НОК:

\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\operatorname{gcd}(a,b)}

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

a=p_1^{d_1}\cdot\dots\cdot p_k^{d_k},
b=p_1^{e_1}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k},

где p_1,\dots,p_k — различные простые числа, а d_1,\dots,d_k и e_1,\dots,e_k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОК(a,b) вычисляется по формуле:

[a,b]=p_1^{\max(d_1,e_1)}\cdot\dots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}.

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b, причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший. Пример:

8\; \, \; \,= 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \,\!
9\; \, \; \,= 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \,\!
21\; \,= 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^1. \,\!
\operatorname{lcm}(8,9,21) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^1 = 8 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 7 = 504. \,\!

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

  • \operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c);
  • \operatorname{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}), a_n).

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

Викия-сеть

Случайная вики