Викия

Математика

Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

ОпределениеПравить

Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли — совместное распределение вероятностей зависимых (кроме первой) случайных величин


\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid  t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!}k^{-n},

i=1,\ldots, k,\quad 2\le k \le n <\infty,

определённых на точечных пространствах элементарных событий


\Omega_1, \ldots, \Omega _k

и принимающих в дискретные последовательные моменты времени


t_1, \ldots, t_k, \quad  t_i<t_{i+1}

с равновероятными успехами соответствующих распределений Бернулли


p_1= \ldots =p_k=k^{-1}, \quad p_1+\ldots +p_k=1,

целые неотрицательные значения


n_1, \ldots, n_k,

взаимосвязанные условием


n_1+\ldots+n_k=n,

согласно которому


X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1}

в  i - ый момент времени i - ая случайная величина X _i принимает значение n _i,  \quad  0\le n_i\le n-\ldots- n_{i-1} при условии, что в предшествующий момент времени n _{i-1}, \quad t_{i-1}<t_i предшествующая случайная величина X_{i-1} приняла значение n _{i-1}, \quad 0\le n_{i-1}\le n-\ldots-n_{i-2}.

Схема повторных циклов случайных зависимых экспериментов с равновероятными успехами испытаний БернуллиПравить

Мултиномиальное распределение появляется в так называемой мультиномиальной схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов. Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности t_1,\ldots,t_k , номера точек которой соответствуют номерам случайных величин.

Каждая из случайных величин распределения X_i=n_i|X_{i-1}=n_{i-1} — это число n_i наступлений одного соответствующего события


x_i,\quad i=1,\ldots,k

в  i - ый момент времени при условии, что в (i-1) - ый момент произошло n_{i-1} наступлений предшествующего события x_{i-1} с положительным исходом, все вероятности которых равны p_1=\ldots=p_k, нормированы p_1+\ldots+p_k=1 и неизменны во время проведения экспериментов.

Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события x_i равна p_i, то полиномиальная вероятность равна вероятности того, что при n экспериментах события x_1,\ldots,x_k наступят n_1,\ldots,n_k раз соответственно.

Случайная величина мультиномиального распределения в соответствующей точке дискретной временной последовательности t_1,\ldots,t_k имеет:

пространство элементарных событий


\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=[0\le n_i \le n-\ldots-n_{i-1}],

вероятность


P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})={n-\ldots-n_{i-1}\choose n_i}k^{-1},

математическое ожидание


E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=(n-\ldots-n_{i-1})k^{-1}

и дисперсию


D(t_i,X_i=n_i)=( n-\ldots-n_{i-1})\frac{k-1}{k^2}.

Пространство элементарных событий мультиномиального распределения есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек  t_1,\ldots,t_k, цикла, а вероятность мультиномиального распределения — произведение вероятностей его случайных величин.

Технические задачи и технические результаты Править

Для получения мультиномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической физике (http://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая физика),[1]

Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и математического ожидания мультиномиального распределения.

Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания мультиномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица , \chi^2 -квадрат критерий и другие.

Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией мультиномиального распределения.

Характеристики мультиномиального  распределения с равновероятными  успехами испытаний БернуллиПравить

Таблица 1 – Характеристики  мультиномиального  распределения  с равновероятными  успехами испытаний Бернулли
Пространство элементарных событий \sum_{i=1}^k\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})
Вероятность \prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} k^{-n}
Максимальная вероятность 

(при математическом ожидании распределения) 

\left(\prod_{i=1}^nP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}) \right)_{max}==\left(\frac{n!}{n_1! \cdots n_n!}k^{-n}\right)_{max}=\frac{n!}{n^n}
Математическое ожидание 

(как максимальное произведение  математических ожиданий 

случайных величин) 

\left(\prod_{i=1}^nE(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})\right)_{max}==\left(\prod_{i=1}^n(n-\ldots-n_{i-1})k^{-1}\right)_{max}=\frac{n!}{n^n}
Дисперсия  \sum_{i=1}^kD(t_i,X_i=n_i)=\sum_{i=1}^k(n-\ldots-n_{i-1})\frac{k-1}{k^2}
Максимальная дисперсия 

(при математическом ожидании распределения) 

\left(\sum_{i=1}^nD(t_i,X_i=n_i)\right)_{max}==\left(\sum_{i=1}^n(n-\ldots-n_{i-1})\frac{k-1}{k^2}\right)_{max}=\frac{n^2-1}{2n}
Ковариационная матрица  B=\| b_{ij} \|, где

b_{ij} = \begin{cases} (n-\ldots-n_{i-1})\frac{k-1}{k^2}, & i=j,\\

0, & i \not= j,

\end{cases}

Корреляционная матрица  \Rho=\| \rho_{ij} \|, где 



\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\

0, & i \not= j

\end{cases}

\chi^2 - критерий \chi^2=\sum_{i=1}^k [X_i-(n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}]^2/( n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}==-n+\sum_{i=1}^kX_i^2 /( n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}

Вероятностная схема получения мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний БернуллиПравить

содержит  циклы  повторных зависимых экспериментов. Количество циклов не ограничено. В каждом цикле число экспериментов равно числу случайных величин распределения и в общем случае только первый эксперимент является независимым, а все последующие эксперименты в цикле зависимы от результатов предшествующих экспериментов.  Все эксперименты осуществляют  методом выбора без возвращения  — изъятые элементы не возвращают на свое прежнее место до полного окончания данного цикла. 

Случайные события – выборки случайных объемов n_i, \quad i=1,\ldots,k, \quad \sum_{i=1}^kn_i=n осуществляют из n   - множества различимых (различающиеся между собой хотя бы одним признаком, например, порядковым номером) неупорядоченных (хаотично расположенных) элементов и  следуют  в последовательные моменты времени t_i,\quad i=1,\ldots,t_k

Число выборок k, \quad 2\le k\le n<\infty   равно числу случайных величин  распределения. 

Случайные величины X_i, \quad i=1,\ldots,k   распределения —   появления случайного числа элементов n   - множества в n_i - подмножествах n_i,\quad i=1,\ldots,k,   с вероятностями p_i    каждого из них. 

Попадание одного произвольного элемента n  - множества в одно из n_i - подмножеств  —   независимое событие —   испытание Бернулли с положительным  исходом; вероятности этих испытаний равны p_1=\ldots=p_k,  нормированы p_1+\ldots+p_k=1    и неизменны во время проведения повторных зависимых экспериментов.

Один цикл повторных зависимых экспериментов, осуществляемых методом выбора без возвращения —   последовательность k     выборок случайных объёмов n_1,\ldots,n_k, обработка результатов разделения n   - множества на n_i  - подмножества, i=1,\ldots,k  в последовательные моменты времени  t_1, \ldots, t_k  и возврат всех n      изъятых элементов на прежнее место к началу следующего цикла. 

Совместное проявление вероятностей попадания k    выборок случайных объёмов n_1,\ldots,n_k    в k     подмножеств в одном цикле экспериментов —   вероятность мультиномиального  распределения с равновероятными  успехами испытаний Бернулли.

Урновая модель получения мультиномиального  распределения с равновероятными успехами  испытаний БернуллиПравить

Состав:   одна исходная урна и k  приёмных урн. Объем каждой из них не менее  объёма исходной урны. 

Нумерация  приёмных урн соответствует  нумерации случайных величин мультиномиального распределения. 

В начальный момент времени  t_0 исходная урна содержит n  - множество различимых  неупорядоченных  элементов, а  все приёмные урны пусты. 

В первый момент времени t_1 из исходной урны осуществляют первую выборку n_1, 0\le n_1\le n случайного объёма и направляют её в первую приёмную урну с вероятностью p_1=k^{-1}   каждого элемента.  

Во второй момент времени t_2 из оставшихся n-n_1     различимых неупорядоченных элементов исходной урны осуществляют вторую выборку n_2,0\le n_2\le{n-n_1}      случайного объёма и направляют её во вторую приёмную урну с вероятностью p_2=k^{-1}     каждого элемента. 

И так далее.

Наконец, в k   - ый момент времени все  элементы n_k=n-\ldots-n_{k-1}, оставшиеся в исходной урне, направляют в k   - ую приёмную урну с вероятностью p_k=k^{-1}     каждого.

В результате исходная урна пуста, а все её элементы n_1, \ldots, n_k размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения исходного n   - множества на k   - подмножеств все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну. 

На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего аналогичного цикла.

Произведение вероятностей попадания элементов n_1, \ldots, n_k исходного множества в приёмные урны есть вероятность мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

Способ получения вероятностей  мультиномиального распределения с равновероятными успехами  испытаний БернуллиПравить

Этот способ  относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части случайных объёмов.

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например,  порядковыми номерами) и не упорядоченных  (хаотично расположенных): 2\le n < \infty .

Составные части — дискретные подмножества  2\le k \le n < \infty , в сумме равные объёму множества.

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют  во времени одна за другой.

В начальный  момент времени t_0 ,  не обязательно равный нулю t_0 \ne 0,  множество содержит n, 2\le n < \infty различимых неупорядоченных элементов.

В первый  момент времени t_1 из n-множества осуществляют первую выборку случайного объёма n_1, 0 \le n_1 \le n с вероятностью p_1=k^{-1} каждого её элемента. 

Вероятность первой случайной величины P_1(t_1,\quad X_1=n_1) мультиномиального распределения определяется числом сочетаний {n \choose n_1} из n по n_1, умноженным на вероятность p_1 выбора одного элемента, возведённую в степень  числа n_1 выбранных элементов:



P_1(t_1, X_1=n_1)={n \choose n_1}p_1^{n_1}={n \choose n_1}k^{-n_1}.

Во второй момент времени t_2 из оставшихся n-n_1 элементов исходного множества осуществляют вторую выборку  случайного объёма   n_2,0 \le n_2 \le n-n_1 с вероятностью p_2=k^{-n_1} каждого её элемента. 

Вероятность второй случайной величины при условии, что в первый момент времени вероятность первой случайной величины мультиномиального распределения  приняла значение P(t_1,\quad X_1=n_1), определяется числом сочетаний {n-n_1 \choose n_2} из n-n_1 по n_2, умноженным на вероятность p_2 выбора одного её элемента, возведённую в степень  числа n_2=k^{-n_2} выбранных элементов:



P_2(t_2, X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1)={n-n_1 \choose n_2}k^{-n_2}.

И так далее.

В i-ый момент времени из оставшихся n-n_{i-1} элементов исходного множества осуществляют i-ую выборку случайного объёма n_i, 0 \le n_i \le n-n_{i-1} с вероятностью p_i=k^{-i} каждого её элемента. Вероятность i-ой случайной величины  при условии, что в i-1-ый момент времени вероятность i-1-ой случайной величины мультиномиального распределения  приняла значение P_{i-1}(t_{i-1},\quad X_{i-1}=n_{i-1}),  определяется числом сочетаний    {n-n_{i-1} \choose n_i} из n-n_{i-1} по n_i, умноженным на вероятность p_i=k^{-1} выбора одного её элемента, возведённую в степень  числа n_i выбранных  элементов:



P_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1})={n-n_{i-1}\choose n_i}k^{-n_i}.

Произведение всех вероятностей есть вероятности мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли — совместное распределение вероятностей зависимых (кроме первой) случайных величин


\prod_{i=1}^kP_i(t_i,X_i=n_i \mid  t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!}k^{-n},

\sum_{i=1}^kn_i=n, \quad \sum_{i=1}^kp_i=1.

В частном случае, когда число случайных величин k=2 равно двум, имеют место вероятности биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли


\prod_{i=1}^2P_i(t_i,X_i=n_i \mid  t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!}2^{-n},

 \sum_{i=1}^2n_i=n, \quad \sum_{i=1}^2p_i=1.

Способ получения  математического ожидания мультиномиального распределения с равновероятными успехами  испытаний БернуллиПравить

Этот способ   относится к техническим задачам разделения дискретного  целого на составные части и отличается от способа получения вероятностей мультиномиального распределения интерпретации 21-го века тем, что число выборок k равно числу n элементов исходного множества k=n и каждая выборка имеет единичный объём: n_i=1,\quad i=1, \ldots, n, \quad k=n .

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например,  порядковыми номерами) и не упорядоченных  (хаотично расположенных): 2\le n < \infty .

Составные части — дискретные подмножества  2\le k \le n < \infty , в сумме равные объёму множества.

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют  во времени одна за другой.

В начальный  момент времени t_0 ,  не обязательно равный нулю t_0 \ne 0,  множество содержит n, 2\le n < \infty различимых неупорядоченных элементов.

В первый  момент времени t_1 из n-множества осуществляют первую выборку n_1=1 единичного объёма с вероятностью p_1=n^{-1}

Вероятность первой случайной величины P_1(t_1, X_1=n_1=1) мультиномиального распределения определяется числом сочетаний  {n \choose n_1} из n по n_1=1, умноженным на вероятность p_1=n^{-1} выбора одного элемента:



P_1(t_1, X_1=n_1=1)={n \choose n_1}p_1={n \choose 1}n^{-1}=\frac{n}{n}.

Во второй момент времени t_2 из оставшихся n-n_1 элементов исходного множества осуществляют вторую выборку n_2=1 единичного объёма с вероятностью p_2=n^{-1}.  

Вероятность второй случайной величины P_2(t_2, X_2=n_2=1) при условии, что в первый момент времени вероятность первая случайная величина мультиномиального распределения  приняла значение P_1(t_1, X_1=n_1=1), определяется числом сочетаний {n-n_1 \choose n_2} из n-n_1 по n_2=1, умноженным на вероятность p_2=n^{-1}  выбора одного элемента:



P_2(t_2, X_2=n_2=1 \mid t_1,X_1=n_1=1)={n-n_1 \choose n_2}p_2={n-n_1 \choose 1}n^{-1}=\frac{n-1}{n}.

И так далее.

В i-ый момент времени из оставшихся n-n_{i-1} элементов исходного множества осуществляют i-ую выборку n_i=1 единичного  объёма с вероятностью p_i=n^{-1}

Вероятность i-ой случайной величины P_i(t_i, X_i=n_i=1) при условии, что в i-1-ый момент времени вероятность i-1-ой случайной величины мультиномиального распределения приняла значение P_{i-1}(t_{i-1}, X_{i-1}=n_{i-1}=1), определяется числом сочетаний  {n-n_{i-1} \choose n_i} из n-n_{i-1} по n_i=1, умноженным на вероятность p_i=n^{-1} выбора одного элемента:



P_i(t_i, X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=1)=


={n-n_{i-1}\choose n_i}p_i={n-n_{i-1}\choose 1}n^{-1}=\frac {n-n_{i-1}}{n}.

Произведение всех вероятностей есть математическое ожидание мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли — совместное распределение вероятностей зависимых (кроме первой) случайных величин


\prod_{i=1}^nP_i(t_i,X_i=n_i=1 \mid  t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)=\frac{n!}{n^n},

\sum_{i=1}^nn_i=n, \quad \sum_{i=1}^np_i=1.

Причём, математическое ожидание мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли полностью совпадает с математическим ожиданием мультиномиального распределения интерпретации 21-го века.

В частном случае, когда число случайных величин k=2 равно двум и множество содержит два элемента n=2, имеет место математическое ожидание биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли , которое полностью совпадает с математическим ожиданием биномиального распределения интерпретации 21-го века.


\prod_{i=1}^2P_i(t_i,X_i=n_i \mid  t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{1}{2},

 \sum_{i=1}^2n_i=n, \quad \sum_{i=1}^2p_i=1.

Два варианта получения математического ожидания мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли: Править

или как максимум произведения математических ожиданий случайных величин мультиномиального распределения,

или как максимум вероятности мультиномиального распределения.

Необходимые и достаточные условия в обоих вариантах одни и те же.

Необходимые условия


n=k, \qquad n_i=1, \qquad 0<p_i<1, \qquad i=1,\ldots,n.

Достаточные условия


p_1=\ldots=p_n=n^{-1}.

Математическое ожидание и максимальная вероятность мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли соответственно


\left(\prod_{i=1}^nE(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})\right)_{max}=\left(\prod_{i=1}^n(n-\ldots-n_{i-1})p_i)\right)_{max}=\frac{n!}{n^n},

\left(\prod_{i=1}^nP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}) \right)_{max}=\left(\frac{n!}{n_1! \cdots n_n!} p_1^{n_1}\cdots p_n^{n_n}\right)_{max}=\frac{n!}{n^n},

максимальная дисперсия


\left(\sum_{i=1}^nD(t_i,X_i=n_i)\right)_{max}=\left(\sum_{i=1}^n(n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i\right)_{max}=\frac{n^2-1}{2n},

пространство элементарных событий


\sum_{i=1}^n\Omega_i(t_i, X_i=n_i=1 \mid t_{i-1}, X_{i-1}=n_{i-1}=1),

расположенное в точках t_1,\ldots,t_n временной последовательности. Число случайных величин распределения равно  n и каждая случайная величина принимает единичное значение: X_i=n_i=1,  i=1,\ldots,n.

Характеристики случайных величин при получении математического ожидании мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли:

пространство элементарных событий


\Omega_i(t_i,  X_i=n_i=1)=[n_j=1, j=1,\ldots,n-i+1], \qquad i=1,\ldots,n,

вероятность


P(t_i, X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)= {n-i+1\choose n_i}{p_i^{n_i}}=\frac{n-i+1}{n},

математическое ожидание


E(t_i,X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)=\frac{n-i+1}{n},

дисперсия


D(t_i,X_i=n_i)=(n-i+1)p_iq_i=(n-i+1)\frac{n-i}{n^2}.

Урновая модель получения математического ожидания мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

содержит одну исходную урну и n приёмных урн единичных объемов. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин распределения.

В начальный момент времени t_0 исходная урна содержит n - множество различимых неупорядоченных элементов, а все приёмные урны пусты.

В первый момент времени t_1 из исходной урны осуществляют первую выборку единичного объёма n_1=1 и направляют её в первую приёмную урну с вероятностью p_1=n^{-1}.

Во второй момент времени t_2 из исходной урны, содержащей n-1 элементов осуществляют вторую выборку единичного объёма n_2=1 и направляют её во вторую приёмную урну с вероятностью p_2=n^{-1}.

И так далее.

Наконец, в последний, n - ый момент времени из исходной урны, содержащей один элемент n-\ldots-n_{n-1}=1, направляют его в n - ую приемную урну с вероятностью p_n=n^{-1}.

В результате исходная урна пуста, а все её n элементов по одному размещены в приёмных урнах.

После обработки результатов разбиения исходного n - множества на n - подмножеств все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну.

На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего аналогичного цикла.

Произведение вероятностей попадания по одному произвольному элементу исходного n - множества в n приёмных урн есть математическое ожидание мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

Локальные экстремумы математического ожидания мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний БернуллиПравить

Мультиномиальное распределение в окрестности своего математического ожидания (таблица 2, строка 2) имеет локальные экстремумы и вероятности, и дисперсии.

Таблица 2 – Локальные экстремумы математического ожидания мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Значения восьми случайных величин Вероятность Дисперсия Экстремумы
1 1 1 1 1 1 1 1 0.240×10-2 3.937 Математическое ожидание
2 1 1 1 1 1 1 0 0.120×10-2 3.172
2 2 1 1 1 1 0 0 0.600×10-3 2.625
2 2 2 1 1 0 0 0 0.300×10-3 2.297
2 2 2 2 0 0 0 0 0.150×10-3 2.187 1-й локальный минимум
3 1 1 1 1 1 0 0 0.400×10-3 2,516 1-й локальный максимум
3 2 1 1 1 0 0 0 0.200×10-3 2.078
3 2 2 1 0 0 0 0 0.100×10-3 1.859
3 3 2 1 0 0 0 0 0.334×10-4 1.641 2-й локальный минимум
4 1 1 1 1 0 0 0 0.100×10-3 1.969 2-й локальный максимум
4 2 1 1 0 0 0 0 0.500×10-4 1.641
4 2 2 0 0 0 0 0 0.250×10-4 1.531
4 2 2 0 0 0 0 0 0.250×10-4 1.531
4 3 1 0 0 0 0 0 0.167×10-5 1.422
4 4 0 0 0 0 0 0 0.417×10-5 1.312 3-й локальный минимум
5 1 1 1 0 0 0 0 0.200×10-4 1.531 3-й локальный максимум
5 2 1 0 0 0 0 0 0.100×10-4 1.312
5 3 0 0 0 0 0 0 0.334×10-5 1.203
6 1 1 0 0 0 0 0 0.334×10-5 1.203
6 2 0 0 0 0 0 0 0.167×10-5 1.094
7 1 0 0 0 0 0 0 0.477×10-6 0.984
8 0 0 0 0 0 0 0 0.596×10-7 0.875

Локальные максимумы и минимумыПравить

Локальные максимумы и минимумы мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли полностью совпадают с локальными максимумами и минимумами мультиномиального распределения интерпретации 21-го века.

Локальные максимумы (жирный шрифт) соответствуют таким числовым значениям случайных величин, когда одна из них имеет значение, отличное от единичного, а остальные принимают единичные значения. При этом, чем меньшее значение, отличное от единичного, принимает одна случайная величина и чем больше единичных значений принимают остальные случайные величины распределения, тем ближе локальный максимум к математическому ожиданию мультиномиального распределения. В пределе, когда все случайные величины принимают единичные значения (при условии k=n), имеет место математическое ожидание мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

При математическом ожидании мультиномиального распределения максимальна и дисперсия мультиномиального распределения, а максимальная вероятность мультиномиального распределения численно равна математическому ожиданию мультиномиального распределения.

Локальные минимумы (наклонный шрифт), как правило, расположены между локальными максимумами и уменьшаются по мере удаления от математического ожидания мультиномиального распределения. Исключение составляют комбинации, предшествующие локальному максимуму и имеющие равные знаменатели мультиномиального (полиномиального) коэффициента (строки 4 и 5 снизу: 5!3!=6!1!1! и 0!=1!=1).

Определение локальных экстремумов основано на вычислении вероятностей мультиномиального распределения. При этом все комбинации значений случайных величин равно возможны и вероятность каждой из них равна n^{-n} . В частности, в таблице 1 n=k=8 ,  n^{-n}=8^{-8} . Вероятность мультиномиального распределения, у которого, например, (таблица 1, 3-я строка сверху: 22111100) две случайные величины имеют числовые значения 2, четыре случайные величины имеют числовые значения 1 и две случайные величины имеют числовые значения 0 и которые могут быть расположены в произвольном порядке, определяется по формуле


\frac{n!}{n_1!\cdots n_n!} n^{-n}=\frac{8!}{2!2!1!1!1!1!0!}8^{-8}=\frac{8!}{2!2!}8^{-8}=0,600x10^{-3}, \quad n_1+\ldots+n_n=n.

Аналогично рассчитываются вероятности мультиномиального распределения для всех других комбинаций случайных величин.

Мультиномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектамиПравить

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Мультиномиальное распределение это:

  • случайный процесс безвозвратного разделения во времени  t_1,\ldots, t_k, \quad  2\le k\le n и в пространстве конечного  n- множества различимых неупорядоченных элементов (2\le n<\infty),
  • разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
  • сумма объёмов всех выборок равна объёму исходного множества  \sum _{i=1}^k n_i =n, при этом только одна из выборок может иметь случайный объём в пределах всего объёма исходного множества  0\le n_i\le n,
  • попадания одного произвольного элемента множества в одно из подмножеств принимают за успешно завершившееся событие соответствующего Бернулли распределения  0\le p_i<1, \quad i=1,\ldots,k\le n,
  • вероятности  0\le p_i<1, \quad i=1,\ldots,k\le n успешно завершившихся событий всех Бернулли распределения принимают за неизменные в процессе разбиения множества и нормируют их  \sum _{i=1}^k p_i =1 согласно аксиоматике Колмогорова,
  • очерёдность следования выборок принимают за нумерацию случайных величин  X_1, \ldots, X_k полиномиального распределения,
  • случайный объём каждой выборки  n_i, \quad i=1,\ldots, k\le n в момент времени  t_i принимают за числовое значение соответствующей случайной величины  X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1} полиномиального распределения при условии, что в предшествующий момент времени  t_{i-1} предшествующая случайная величина  X_{i-1} приняла числовое значение  n_{i-1},
  • результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристики всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин мультиномиального распределения,
  • математическое ожидание мультиномиального распределения имеет место, когда число выборок k равно числу элементов  n-множества  k=n и численно равно \frac{n!}{n^n}, \quad 2\le n <\infty, откуда  n=2, \quad \frac{n!}{n^n}=\frac{2!}{2^2}=\frac{1}{2} - математическое ожидание биномиального распределения.

Мультиномиальное распределение и цепи Маркова: совпадения и отличия, частный случайПравить

Мультиномиальное распределение появляется в последовательности зависимых случайных испытаний с конечным или счётным числом исходов. По сути — это цепь Маркова, где X_{i+1}-ая случайная величина зависима от предшествующей X_i-ой случайной величины


t_{i+1}>t_i,X_{i+1}=n_{i+1} \mid t_i<t_{i+1}, X_i=n_i,\quad i=1,\ldots,k \le n

следующим образом: X_{i+1}-ая случайная величина в t_{i+1}-ый момент времени принимает числовое значение, равное n_{i+1}, при условии, что в t_i-ый момент времени X_i-ая случайная величина приняла числовое значение, равное n_i. Случайные величины следуют одна за другой в порядке возрастания своих номеров.

X_0, называемое начальным распределением цепи Маркова, для мультиномиального распределения не имеет смысла t_0=0, 
 \quad  X_0=0, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: t_1, X_1,\ldots, t_k, X_k.

Переходная вероятность мультиномиального распределения


P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}),\quad 0\le n_i\le n< \infty

является дискретной функцией времени. Следовательно, и мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли


\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}=

=\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!}k^{-n}, \quad p_1=\ldots=p_k=k^{-1},

как произведение его случайных величин, является дискретной функцией времени, иными словами, мультиномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.

Сумма всех вероятностей мультиномиального распределения равна единице. Следовательно, мультиномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Однако в отличие от марковских цепей и марковских процессов мультиномиальное распределение не обладает свойством отсутствия последействия, согласно которому для любого испытания допускается зависимость его от непосредственно предшествующего ему испытания (и только от него).

Причина заключается в том, что в мультиномиальном распределении имеется ещё одна зависимость — каждая случайная величина (кроме первой) зависима от всех ей предшествующих случайных величин.

Зависимость проявляется в том, что предшествующая случайная величина (X_i) мультиномиального распределения в соответствующий момент времени ( t_i) сокращает на своё числовое значение (n_i) верхнюю границу пространства элементарных событий следующей за ней случайной величины (X_{i+1}):


\Omega_{i+1}(t_{i+1}, X_{i+1}=n_{i+1} \mid t_i,X_i=n_i)=[0 \le n_{i+1} \le n-\ldots-n_i],

 i=1,\ldots,k \le n.

Как следствие, все предшествующие случайные величины (если их числовые значения отличны от нуля) поочерёдно в соответствующие моменты времени сокращают на свои числовые значения верхнюю границу пространства элементарных событий последней случайной величины.

В частном случае, когда k=2, имеет место биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

С точки зрения цепей Маркова — биномиальное распределение — это простейший марковский процесс с дискретным временем, в котором:

вторая случайная величина зависима от первой (и только от неё)


t_2>t_i,X_2=n_2   \mid   t_i<t_2, X_1=n_1, \quad n_1+n_2=1;

всего лишь одна переходная вероятность


P(t_2,X_2=n_2  \mid  t_1,X_1=n_1);

процесс стахостический, поскольку сумма вероятностей равна единице p_1+p_2=1;

как и в мультиномиальном распределение, начальное состояние цепи Маркова X_0, для биномиального распределения не имеет смысла t_0=0,  \quad  X_0=0, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: t_1, X_1, \quad t_2, X_2.

Связь с другими распределениямиПравить

Если p_i\ne p_j хотя бы для одной пары вероятностей, то имеет место мультиномиальное распределение интерпретации 21-го века.

Если p_1=\dots p_k и все случайные величины распределения считались независмыми, то в 20-ом веке имели место следующие названия: распределение Максвелла - Больцмана [2], статистика Максвелла - Больцмана [3], распределение Больцмана [4], статистика Больцмана [5].

Если p_1\ne p_2,\quad p_+ p_2=1, то имеет место биномиальное распределение интерпретации 21-го века, иными словами http://ru.science.wikia.com/wiki/Биномиальное распределение:новая интерпретация.

Если p_1=p_2,\quad p_+ p_2=1, то имеет место биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

ЛитератураПравить

  1. Голоборщенко В. С. Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. Сборник научных трудов МАИТ. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19. С. 31–36.
  2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Том 1. М.: Мир, 1984. С.40,59,61,62.
  3. Максвелла - Больцмана статистика. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклодедия, 1999, с. 295. ISBN 585270265X
  4. Шорин С. Я. Больцмана распределение. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклодедия, 1999. С. 55. ISBN 585270265X
  5. Зубарев Д. Н. Больцмана статистика Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклодедия, 1999. С. 55. ISBN 585270265X

См.такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики