Викия

Математика

Мощность множества

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение2 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют бо́льшие, есть ме́ньшие бесконечные множества, среди них счётное множество является самым маленьким.

Мощность множества, как и другие основные конструкции традиционной теоретико-множественной математики, может достаточно плодотворно рассматриваться и под углом зрения, отличным от широко известной интуиционистской критики в рамках альтернативной теории множеств.

Определение Править

Пусть даны два множества A и B. Тогда они называются равномощными, если между ними существует биекция f:A \leftrightarrow B. Из свойств биекции следует, что равномощность является отношением эквивалентности. Мощностью или кардинальным числом множества A называется соответствующий ему класс эквивалентности. Мощность множества обозначается |A|. Тот факт, что два множества равномощны, записывается: |A| = |B|.

Связанные определения Править

  • Множество A называется конечным, если оно равномощно множеству \{1,\ldots,n\} для некоторого n\in \mathbb{N}. Мощность такого множества идентифицируют с количеством его элементов: |A| = n. Таким образом по определению два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же количество элементов.
  • Множество A называется бесконечным, если оно не является конечным.
  • Множество A называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N. Мощность счётного множества обозначается \aleph_0.
  • Множество A называется не более чем счётным, если оно конечно или счётно.
  • Множество A называется несчётным, если оно бесконечно и не является счётным.

Свойства Править

  • Если A конечно, и 2^A - его булеан, то
     \left| 2^A \right| = 2^{|A|}.
  • Множество является бесконечным тогда и только тогда, когда оно содержит подмножество равномощное себе.
  • В предположении выполненности аксиомы выбора любое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
  • Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.

Упорядочение кардинальных чисел Править

Будем предполагать, что выполнена аксиома выбора. Будем писать, что |A|\le |B|, если существует инъекция f:A \to B. Введённое таким образом бинарное отношение на мощностях множеств не зависит от выбора представителей обоих классов эквивалентности и обладает следующими свойствами:

Таким образом введённое отношение \le является полным порядком на семействе мощностей. Следуя общей практике, будем также использовать строгое неравенство:

\bigl( |A| < |B| \bigr) \Leftrightarrow \bigl( |A| \le |B| \bigr) \wedge \bigl( |A| \neq |B| \bigr).

Теорема КантораПравить

См. также основную статью: Теорема Кантора

Пусть A - произвольное множество, а 2^{A} - его булеан. Тогда

|A| < \left| 2^A \right|.

В частности множество вещественных чисел, будучи равномощным множеству подмножеств натуральных чисел, является несчётным.

Континуум-гипотеза Править

См. также основную статью: Континуум-гипотеза

Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что неравенство в теореме Кантора плотное, то есть для любого бесконечного множества A не существует множества B такого, что

|A| < |B| < \left|2^A\right|.

Это означает, что мощности множеств могут быть выписаны в виде возрастающей последовательности

\aleph_0, \aleph_1,\aleph_2,\ldots,

где

\forall n\in \mathbb{N}\quad \aleph_{n} = 2^{\aleph_{n-1}},

и в частности

  • \aleph_0 - мощность счётных множеств,
  • \aleph_1 - мощность множества вещественных чисел.


Викия-сеть

Случайная вики