Викия

Математика

Монотонная функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю то функция называется стро́го моното́нной.

Определения Править

Пусть дана функция f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}. Тогда

  • функция f называется возраста́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y).
  • функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y).
  • функция f называется убыва́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y).
  • функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y).

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология Править

Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими, а убывающие функции невозраста́ющими. Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.

Свойства монотонных функций Править

Условия монотонности функции Править

  • (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция f \in C \bigl( (a,b) \bigr) непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке x\in (a,b) производную f'(x). Тогда
    f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда \forall x \in (a,b)\; f'(x) \ge  0;
    f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда \forall x \in (a,b)\; f'(x) \le  0.
  • (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция f \in C \bigl( (a,b) \bigr) непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке x\in (a,b) производную f'(x). Тогда
    если \forall x \in (a,b)\; f'(x) > 0, то f строго возрастает на (a,b);
    если \forall x \in (a,b)\; f'(x) < 0, то f строго убывает на (a,b).

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b). Точнее имеет место

  • (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть f\in C\bigl( (a,b) \bigr), и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
  1. \forall x \in (a,b) \; f'(x) \ge 0;
  2. \forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) > 0.

Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. \forall x \in (a,b) \; f'(x) \le 0;
  2. \forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) < 0.

Примеры Править

  • Экспонента f(x) = e^x строго возрастает на всей числовой прямой.
  • Парабола f(x) = x^2 строго убывает на на (-\infty,0] и строго возрастает на [0,\infty).
  • Константа f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R} одновременно возрастает и убывает на всей числовой прямой.
  • Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
  • Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Монотонная функция русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики