Моменты случайной величины

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

ОпределенияПравить

Если дана случайная величина $ \displaystyle X, $ определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

• $ \displaystyle k $-м нача́льным моментом случайной величины $ \displaystyle X, $ где $ k \in \mathbb{N}, $ называется величина

$ \nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right], $

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;

• $ \displaystyle k $-м центра́льным моментом случайной величины $ \displaystyle X $ называется величина

$ \mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right], $

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

ЗамечанияПравить

• Если определены моменты $ \displaystyle k $-го порядка, то определены и все моменты низших порядков $ 1 \le k' < k. $
• В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:

$ \displaystyle \mu_1 = 0, $

$ \displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2, $

$ \displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3. $

Геометрический смысл некоторых моментовПравить

• $ \displaystyle \nu_1 $ равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
• $ \displaystyle \mu_2 $ равняется дисперсии распределения $ \displaystyle (\mu_2=\sigma^2) $ и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
• $ \displaystyle \mu_3 $, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение

$ \frac{\mu_3}{\sigma^3} $

называется коэффициентом асимметрии.

• $ \displaystyle \mu_4 $ контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина

$ \frac{\mu_4}{\sigma^4}-3 $

называется коэффициентом эксцесса распределения $ \displaystyle X. $

Вычисление моментовПравить

• Часто моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью $ \displaystyle f(x), $ имеем:

$ \nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx, $

а для дискретного распределения с функцией вероятности $ \displaystyle p(x): $

$ \nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x). $

• Если распределение таково, что для него в сколь угодно малой окрестности нуля определена производящая функция моментов $ \displaystyle M(t) $ или характеристическая функция $ \displaystyle \phi(t), $ то моменты могут быть вычислены по формулам:

$ \nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M(t)\right\vert_{t=0} $

или

$ \nu_k = \left.-i^k \frac{d^k}{dt^k} \phi(t)\right\vert_{t=0}. $

ОбобщенияПравить

Можно также рассматривать нецелые значения $ k $. Момент, рассматриваемый как функция от аргумента $ k $, называется преобразованием Меллина.sv:Moment (matematik)