Викия

Математика

Моменты случайной величины

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

ОпределенияПравить

Если дана случайная величина \displaystyle X, определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

  • \displaystyle kнача́льным моментом случайной величины \displaystyle X, где k \in \mathbb{N}, называется величина
\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right],
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;
  • \displaystyle kцентра́льным моментом случайной величины \displaystyle X называется величина
\mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right],
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

ЗамечанияПравить

  • Если определены моменты \displaystyle k-го порядка, то определены и все моменты низших порядков 1 \le k' < k.
  • В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:
\displaystyle \mu_1 = 0,
\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,
\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3.

Геометрический смысл некоторых моментовПравить

  • \displaystyle \nu_1 равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
  • \displaystyle \mu_2 равняется дисперсии распределения \displaystyle (\mu_2=\sigma^2) и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
  • \displaystyle \mu_3, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
\frac{\mu_3}{\sigma^3}
называется коэффициентом асимметрии.
  • \displaystyle \mu_4 контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3
называется коэффициентом эксцесса распределения \displaystyle X.

Вычисление моментовПравить

\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,
а для дискретного распределения с функцией вероятности \displaystyle p(x):
\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x).
\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M(t)\right\vert_{t=0}
или
\nu_k = \left.-i^k \frac{d^k}{dt^k} \phi(t)\right\vert_{t=0}.

ОбобщенияПравить

Можно также рассматривать нецелые значения k. Момент, рассматриваемый как функция от аргумента k, называется преобразованием Меллина.sv:Moment (matematik)

Викия-сеть

Случайная вики