Моменты случайной величины

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Содержание 1 Определения 2 Замечания 3 Геометрический смысл некоторых моментов 4 Вычисление моментов 5 Обобщения

[править] Определения

Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

• -м нача́льным моментом случайной величины где называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;

• -м центра́льным моментом случайной величины называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

[править] Замечания

• Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков
• В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:

[править] Геометрический смысл некоторых моментов

• равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
• равняется дисперсии распределения и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
• , будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение

называется коэффициентом асимметрии.

• контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина

называется коэффициентом эксцесса распределения

[править] Вычисление моментов

• Часто моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью имеем:

а для дискретного распределения с функцией вероятности

• Если распределение таково, что для него в сколь угодно малой окрестности нуля определена производящая функция моментов или характеристическая функция то моменты могут быть вычислены по формулам:

или

[править] Обобщения

Можно также рассматривать нецелые значения . Момент, рассматриваемый как функция от аргумента , называется преобразованием Меллина.sv:Moment (matematik)