Модуль непрерывности

Для любой функции, определённой на множестве E, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого $\omega_{f}(\delta)$. Модуль непрерывности тоже функция, по определению равная:

$sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|:(x_{1}, x_{2}\in E)\and|x_{1}-x_{2}|<\delta\}$,

или верхнюю грань колебаний функции по всем подотрезкам из E длиной меньше δ. Также в литературе встречаются другие обозначения $\omega(f, \delta)$ и (реже) $\omega(\delta, f)$.

Свойства модуля непрерывности

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

• При любом δ она неотрицательна (очевидно);

• Функция не убывает (также очевидно);

• Функция полуаддитивна: $\omega_{f}(\delta_{1}+\delta_{2})\leq\omega_{f}(\delta_{1})+\omega_{f}(\delta_{2})$.

  Докажем:

  $\forall x_{1}, x_{2} \in E (|x_{1}-x_{2}|\leq\delta_{1}+\delta_{2})\Rightarrow(\exists x':(|x'-x_{1}|\leq\delta_{1})\and(|x_{2}-x'|\leq\delta_{2})$.

  Тогда:

  |f(x₁)-f(x₂)| = |f(x₁)-f(x')+f(x')-f(x₂)|$\le$|f(x₁)-f(x')|+|f(x')-f(x₂)|$\leq\omega_{f}(\delta_{1})+\omega_{f}(\delta_{2})$, ч. т. д.

• В точке 0 доопределим модуль непрерывности: $\omega_{f}(0)=0 (def)$.

• Если функция f определена на отрезке [a, b] и непрерывна на нём, то $\lim_{\delta\rightarrow 0+}{\omega_{f}(\delta)}=0$ (данный предел обозначается также $\omega_{f}(+0)$), и наоборот.
  • Пусть $\omega_{f}(+0)$=0; мы знаем, что функция неотрицательна, а значит,

    $(\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:0\leq\omega_{f}(\delta)<\varepsilon)\Rightarrow|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$
    при любых x₁ и x₂ из [a, b] таких, что расстояние между ними меньше δ. Если мы зафиксируем x₁, а x₂ будет варьироваться в пределах какой-нибудь окрестности x₁, мы увидим, что выписанное выражение является определением непрерывности функции в точке x₁, а поскольку вместо x₁ мы можем взять любую точку отрезка, получим, что f(x) непрерывна на нём.

    Докажем теперь обратное утверждение. Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке, как говорит нам теорема Кантора-Гейне. Запишем это утверждение в символьном виде:

$\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x_{1}, x_{2} \in [a,b](|x_{1}-x_{2}|<\delta)\Rightarrow(|f(x_{1})-f(x_{2})|<\frac{\varepsilon}{2})$.

Тогда, как было сказано в определении модуля непрерывности,

$\omega_{f}(\delta)=sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|:(x_{1}, x_{2}\in [a,b])\and|x_{1}-x_{2}|<\delta\}$.

Но, как мы только что показали, :|f(x₁)-f(x₂)|<$\frac{\varepsilon}{2}$, а стало быть, верхняя грань, которой является модуль непрерывности, меньше или равна $\frac{\varepsilon}{2}$ и уж точно меньше $\varepsilon$. Но, поскольку $\omega_{f}(\delta)$ не убывает, при 0<δ'<δ получим неравенство

$\omega_{f}(0)=0\leq\omega_{f}(\delta')\leq\omega_{f}(\delta)<\varepsilon$, или $\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:(\delta'\in\dot{U}_{\delta}^{+}(0))\Rightarrow(\omega_{f}(\delta')\in U_{\varepsilon}(0))$, что по определению означает существование предела модуля непрерывности в точке 0 справа, ч. т. д.

• Если f(x) непрерывна на [a, b], то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке [0, b-a].

  Докажем это утверждение. По только что доказанному свойству $\omega_{f}(\delta)$ непрерывен в точке 0 справа. Возьмём положительное число h и, используя свойства неотрицательности и полуаддитивности, выпишем следующее неравенство: $0\leq\omega_{f}(\delta+h)-\omega_{f}(\delta)\leq\omega_{f}(h)$. При устремлении h к нулю справа крайние части неравенства стремятся к нулю, а значит, по 'теореме о двух милиционерах', и средняя часть (которая представляет собой приращение функции при положительном приращении аргумента) стремится к нулю, то есть предел функции в точке справа равен её значению в этой точке. Это означает непрерывность справа во всех точках [a, b]. Теперь, подставив в неравенство δ₁=δ-h, таким же образом получим непрерывность слева и равенство левых пределов правым в каждой точке отрезка, что и означает непрерывность $\omega_{f}(\delta)$ на всём отрезке.

Связанные понятия

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

• принадлежность классам Липшица и Гёльдера
• гладкость
• дифференцируемость
• возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона-Стечкина)

и многих других.

Вариации и обобщения

Модули непрерывности высших порядков

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции $f$.

$\omega_{f}(\delta) = sup\{|\Delta^1_h(f,x)|:(x \in E) \and |h|<\delta\}.$.

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка $n$, то получим определение модуля непрерывности порядка $n$. Обычное обозначение для таких модулей — $\omega_n(f, \delta)$.

Свойства

1. Если $k$ — целое число, то $\omega_n(f, k\delta) \leqslant k^n\omega_n(f, \delta).$

Неклассические модули непрерывности

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берется этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берется разностный оператор также зависить от точки. Подобные "неклассические" модули непрерывности находят свое применение в различных областях современной математики.