Викия

Математика

Модуль непрерывности

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Для любой функции, определённой на множестве E, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого \omega_{f}(\delta). Модуль непрерывности тоже функция, по определению равная:

sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|:(x_{1}, x_{2}\in E)\and|x_{1}-x_{2}|<\delta\},

или верхнюю грань колебаний функции по всем подотрезкам из E длиной меньше δ. Также в литературе встречаются другие обозначения \omega(f, \delta) и (реже) \omega(\delta, f).

Свойства модуля непрерывности Править

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

  • При любом δ она неотрицательна (очевидно);
  • Функция не убывает (также очевидно);
  • Функция полуаддитивна: \omega_{f}(\delta_{1}+\delta_{2})\leq\omega_{f}(\delta_{1})+\omega_{f}(\delta_{2}).
    Докажем:
    \forall x_{1}, x_{2} \in E (|x_{1}-x_{2}|\leq\delta_{1}+\delta_{2})\Rightarrow(\exists x':(|x'-x_{1}|\leq\delta_{1})\and(|x_{2}-x'|\leq\delta_{2}).
    Тогда:
    |f(x1)-f(x2)| = |f(x1)-f(x')+f(x')-f(x2)|\leq|f(x1)-f(x')|+|f(x')-f(x2)|\leq\omega_{f}(\delta_{1})+\omega_{f}(\delta_{2}), ч. т. д.
  • В точке 0 доопределим модуль непрерывности: \omega_{f}(0)=0 (def).
  • Если функция f определена на отрезке [a, b] и непрерывна на нём, то \lim_{\delta\rightarrow 0+}{\omega_{f}(\delta)}=0 (данный предел обозначается также \omega_{f}(+0)), и наоборот.
    • Пусть \omega_{f}(+0)=0; мы знаем, что функция неотрицательна, а значит,
      (\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:0\leq\omega_{f}(\delta)<\varepsilon)\Rightarrow|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon
      при любых x1 и x2 из [a, b] таких, что расстояние между ними меньше δ. Если мы зафиксируем x1, а x2 будет варьироваться в пределах какой-нибудь окрестности x1, мы увидим, что выписанное выражение является определением непрерывности функции в точке x1, а поскольку вместо x1 мы можем взять любую точку отрезка, получим, что f(x) непрерывна на нём.
      Докажем теперь обратное утверждение. Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке, как говорит нам теорема Кантора-Гейне. Запишем это утверждение в символьном виде:
\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x_{1}, x_{2} \in [a,b](|x_{1}-x_{2}|<\delta)\Rightarrow(|f(x_{1})-f(x_{2})|<\frac{\varepsilon}{2}).
Тогда, как было сказано в определении модуля непрерывности,
\omega_{f}(\delta)=sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|:(x_{1}, x_{2}\in [a,b])\and|x_{1}-x_{2}|<\delta\}.
Но, как мы только что показали, :|f(x1)-f(x2)|<\frac{\varepsilon}{2}, а стало быть, верхняя грань, которой является модуль непрерывности, меньше или равна \frac{\varepsilon}{2} и уж точно меньше \varepsilon. Но, поскольку \omega_{f}(\delta) не убывает, при 0<δ'<δ получим неравенство
\omega_{f}(0)=0\leq\omega_{f}(\delta')\leq\omega_{f}(\delta)<\varepsilon, или \forall\varepsilon>0\exists\delta>0:(\delta'\in\dot{U}_{\delta}^{+}(0))\Rightarrow(\omega_{f}(\delta')\in U_{\varepsilon}(0)), что по определению означает существование предела модуля непрерывности в точке 0 справа, ч. т. д.
  • Если f(x) непрерывна на [a, b], то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке [0, b-a].
    Докажем это утверждение. По только что доказанному свойству \omega_{f}(\delta) непрерывен в точке 0 справа. Возьмём положительное число h и, используя свойства неотрицательности и полуаддитивности, выпишем следующее неравенство: 0\leq\omega_{f}(\delta+h)-\omega_{f}(\delta)\leq\omega_{f}(h). При устремлении h к нулю справа крайние части неравенства стремятся к нулю, а значит, по 'теореме о двух милиционерах', и средняя часть (которая представляет собой приращение функции при положительном приращении аргумента) стремится к нулю, то есть предел функции в точке справа равен её значению в этой точке. Это означает непрерывность справа во всех точках [a, b]. Теперь, подставив в неравенство δ1=δ-h, таким же образом получим непрерывность слева и равенство левых пределов правым в каждой точке отрезка, что и означает непрерывность \omega_{f}(\delta) на всём отрезке.

Связанные понятия Править

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

и многих других.

Вариации и обобщенияПравить

Модули непрерывности высших порядков Править

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции f.

\omega_{f}(\delta) = sup\{|\Delta^1_h(f,x)|:(x \in E) \and |h|<\delta\}. .

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка n, то получим определение модуля непрерывности порядка n. Обычное обозначение для таких модулей — \omega_n(f, \delta).

СвойстваПравить

  1. Если k — целое число, то \omega_n(f, k\delta) \leqslant k^n\omega_n(f, \delta).

Неклассические модули непрерывности Править

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берется этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берется разностный оператор также зависить от точки. Подобные "неклассические" модули непрерывности находят свое применение в различных областях современной математики.

Викия-сеть

Случайная вики