Викия

Математика

Многочлен Лежандра

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [-1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов 1, x, x^2, x^3, и т.д. ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Могут быть вычислены по прямым формулам:

{P_n (x)} = {1\over{2^n n!}} {d^n (x^2 - 1)^n \over{d x^n}}

Или по рекуррентным:

P_{n+1}(x) = {2n+1\over{n+1}}xP_n(x) - {n\over{n+1}}P_{n-1}(x)

Также они являются решениями дифференциального уравнения Лежандра:

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0.

Производящая функция для многочленов Лежандра равна

\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)z^n = {1\over{\sqrt{1-2xz+x^2}}}

Условие ортогональности этих полиномов на отрезке [-1,1]:

\int\limits_{-1}^{1}P_k(x)P_l(x)dx = {2\over{2k+1}}\delta_{kl}

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

P_0(x) = 1; P_1(x) = x; P_2(x) = {1\over{2}} (3x^2 - 1); P_3(x) = {1\over 2} (5x^3 - 3x)

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра P_{n,m}(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции - это функции (в полярных координатах r,\theta,\phi) вида

r^{n_.} P_{n,m}(\cos \theta) \cos m\varphi   и   r^{n_.} P_{n,m}(\cos \theta) \sin m\varphi,

где функции P_{n,m} - функции Лежандра - удовлетворяют дифференциальному уравнению

(1-x^2)({d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_{n,m}(x) \right] + n(n+1)P_{n,m}(x)) = m^2P_{n,m}(x).

Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в R3 (при n<0 - всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для представления решений общего вида для этого уравнения. Функции Лежандра P_{n,m} (при m=0 они совпадают с соответствующими многочленами Лежандра) могут быть вычислены через многочлены Лежандра по формулам:

P_{n,m}(x) = (1-x^2)^{m/2}{d^m \over dx^m}P_n(x)
cs:Legendrovy polynomynl:Legendre-polynoom

pl:Wielomiany Legendre'asv:Legendrepolynom vi:Đa thức Legendre

Викия-сеть

Случайная вики