Викия

Математика

Многочлен Бернштейна

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. [1] [2]

Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастелье.

Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики, полиномы Бернштейна, заключённые в промежуток x ∈ [0, 1], стали играть важную роль при построении кривых Безье.

Определение Править

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

b_{k,n}(x) = \binom{n}{k} x^{k} (1-x)^{n-k}, \qquad k=0,\ldots,n.

где \binom{n}{k}биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства \Pi_n многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

B_n(f; x) = B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) b_{k,n}(x)

называется многочленом (полиномом) Бернштейна или многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты f\left(\frac{k}{n}\right) называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры Править

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

b_{0,0}(x) = 1 \,
b_{0,1}(x) = 1-x \,
 b_{1,1}(x) = x \,
b_{0,2}(x) = (1-x)^2 \,
b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \,
 b_{2,2}(x) = x^2 \ .

Свойства Править

Шаблон:Sect-stub

Аппроксимация непрерывных функций Править

Шаблон:Sect-stub

См. также Править

Примечания Править

  1. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М.: 1952. — Т. 1. — С. 105-106.
  2. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М.: 1954. — Т. 3. — С. 310-348.
cs:Bernsteinův polynompl:Wielomiany Bernsteinasv:Bernsteinpolynom

Викия-сеть

Случайная вики