ФЭНДОМ


В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. [1] [2] Править

Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастелье.

Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики, полиномы Бернштейна, заключённые в промежуток x ∈ [0, 1], стали играть важную роль при построении кривых Безье.

Определение Править

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

$ b_{k,n}(x) = \binom{n}{k} x^{k} (1-x)^{n-k}, \qquad k=0,\ldots,n. $

где $ \binom{n}{k} $биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства $ \Pi_n $ многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

$ B_n(f; x) = B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) b_{k,n}(x) $

называется многочленом (полиномом) Бернштейна или многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты $ f\left(\frac{k}{n}\right) $ называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры Править

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

$ b_{0,0}(x) = 1 \, $
$ b_{0,1}(x) = 1-x \, $
$ b_{1,1}(x) = x \, $
$ b_{0,2}(x) = (1-x)^2 \, $
$ b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \, $
$ b_{2,2}(x) = x^2 \ . $

Свойства Править

Шаблон:Sect-stub

Аппроксимация непрерывных функций Править

Шаблон:Sect-stub

См. также Править

Примечания Править

  1. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М.: 1952. — Т. 1. — С. 105-106.
  2. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М.: 1954. — Т. 3. — С. 310-348.
cs:Bernsteinův polynompl:Wielomiany Bernsteinasv:Bernsteinpolynom