Викия

Математика

Многочлены Чебышёва

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Многочле́ны Чебышёва — две последовательности многочленов, названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва.

Chebyshev.jpg

T1, T2, T3, T4, T5

Первая последовательность, T_n(x), многочлен Чебышёва первого рода характеризуется как многочлен степени n > 1 со старшим коэффициентом 2n-1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [-1,1].

Вторая последовательность, U_n(x), многочлен Чебышёва второго рода характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n, интеграл абсолютного значения которого по интервалу [-1,1] наименьший возможный.

Рекурсивное определениеПравить

Многочлены Чебышёва первого рода T_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

T_0(x) = 1 \,
T_1(x) = x \,
T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,

Многочлены Чебышёва второго рода U_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

U_0(x) = 1 \,
U_1(x) = 2x \,
U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,

Явные формулы Править

Многочлены Чебышёва являются решениями уравнения Пелля:

T_n(x)^2 - (x^2-1) U_{n-1}(x)^2 = 1

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

T_n(x) + U_{n-1}(x)\sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^n.

Из последнего тождества также следуют явные формулы:

T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k};
U_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n+1}-(x-\sqrt{x^2-1})^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (x^2-1)^k x^{n-2k}.

Однако, вычисление значений многочленов Чебышёва по этим формулам требует работы с комплексными числами при |x|<1.

Тригонометрическое определениеПравить

Многочлены Чебышёва первого рода T_n(x) могут быть также определены с помощью равенства:

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta). \,

Многочлены Чебышёва второго рода U_n(x) могут быть также определены с помощью равенства:

 U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.

ПримерыПравить

Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода

 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,

Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода

 U_0(x) = 1 \,
 U_1(x) = 2x \,
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
 U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,

СвойстваПравить

Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:

  • Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом \frac1\sqrt{1-x^2} для многочленов первого рода и \sqrt{1-x^2} для многочленов второго рода).
  • Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [-1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет:
    • наибольший старший коэффициент
    • наибольшее значение в любой точке a \geq 1
  • Нули полинома Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах.

ОбобщенияПравить

Вопрос о мночленах минимальной нормы с фиксированными коэффициентами при двух старших степенях был рассмотрен позднее Золотарёвым, найденные им полиномы носят название многочлены Золотарёва.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

pl:Wielomiany Czebyszewa

Викия-сеть

Случайная вики