Многомерное нормальное распределение

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей - это обобщение одномерного нормального распределения.

[править] Определения

Случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Произвольная линейная комбинация компонентов вектора имеет нормальное распределение.
• Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин , вещественный вектор и матрица размерности , такие что:

.

• Существует вектор и неотрицательно определённая симметричная матрица размерности , такие что плотность вероятности вектора имеет вид:

,

где - определитель матрицы , а - матрица обратная к .

• Существует вектор и неотрицательно определённая симметричная матрица размерности , такие что характеристическая функция вектора имеет вид:

.

[править] Замечания

• Если одно из приведённых выше определений принято в качестве основного, то другие выводятся в качестве теорем.
• Вектор является вектором средних значений , а - его ковариационная матрица.
• В случае , многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
• Если случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, то пишут .

[править] Свойства многомерного нормального распределения

• Если вектор имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты имеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно!
• Если случайные величины имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций такого вектора диагональна.
• Если имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если только компоненты имеют одномерное нормальное распределение и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы.

Контрпример. Пусть , а с равными вероятностями. Тогда , и корреляция и равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы.

• Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если , а - произвольная матрица размерности , то

.

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

nl:Multivariate normale verdeling

pl:Wielowymiarowy rozkład normalny sv:Multivariat normalfördelning